WikiSort.ru - Не сортированное

Вводные определения

Пусть ${\displaystyle F}$  — монотонно неубывающая функция, непрерывная справа на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$ . На ${\displaystyle [a,\;b]}$ вводится борелевская алгебра:

${\displaystyle m[a,\;b)=F(b)-F(a)}$ ,

${\displaystyle m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)}$ ,

${\displaystyle m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)}$ ,

${\displaystyle m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)}$ ,

${\displaystyle \mu _{F}}$  — мера Стилтьеса на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$ , для производящей функции которой: ${\displaystyle F(+\infty )-F(-\infty )}$ . Поэтому можно продолжить меру на всю числовую прямую.

Частные случаи производящей функции:

• ${\displaystyle F}$  — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество ${\displaystyle A}$  — из конечного или счётного числа точек (скаляров).

${\displaystyle \mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}}$  — дискретная мера.

• Функция F непрерывна, монотонно не убывает на ${\displaystyle [a,\;b]}$ , на ${\displaystyle (a,\;b)}$ ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ .

${\displaystyle \mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx}$  — абсолютно непрерывная мера.

• ${\displaystyle F}$  — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение ${\displaystyle F}$ равно 1 на всём отрезке, но почти всюду ${\displaystyle const}$ ). Мера сосредоточена в точках роста функции.

Теорема разложения меры

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.