WikiSort.ru - Не сортированное

Уравнение Кортевега — де Фриза

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

${\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

${\displaystyle u(x,t)=-{\frac {2\varkappa ^{2}}{\mathrm {ch} ^{2}\,\varkappa (x-4\varkappa ^{2}t-\varphi )}}}$

где ${\displaystyle 2\varkappa ^{2}}$  — амплитуда солитона, ${\displaystyle \varphi }$  — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна ${\displaystyle \varkappa ^{-1}}$ . Такой солитон движется со скоростью ${\displaystyle v=4\varkappa ^{2}}$ . Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее^[15].

В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при ${\displaystyle t\to \pm \infty }$ решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде

${\displaystyle u(x,t)=-2{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln \det A(x,t)}$

где матрица ${\displaystyle A(x,t)}$ даётся выражением

${\displaystyle A_{nm}=\delta _{nm}+{\frac {\beta _{n}}{\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}}\mathrm {e} ^{8\varkappa _{n}^{3}t-(\varkappa _{n}+\varkappa _{m})x}}$

Здесь ${\displaystyle \beta _{n},n=1,\dots ,N}$ и ${\displaystyle \varkappa _{n}>0,n=1,\dots ,N}$  — произвольные вещественные постоянные.

Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\psi (x)+u(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

с потенциалом ${\displaystyle u(x)}$ , убывающим на бесконечности быстрее чем ${\displaystyle |x|^{-1-\varepsilon }}$ , коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени ${\displaystyle t}$ .

Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при ${\displaystyle t\to -\infty }$ решение имеет асимптотический вид ${\displaystyle N}$ солитонов, тогда при ${\displaystyle t\to +\infty }$ оно также имеет вид ${\displaystyle N}$ солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы ${\displaystyle k}$ -го солитона равен

${\displaystyle \Delta \varphi _{k}=\sum _{\stackrel {n=1}{n\neq k}}^{N}\Delta \varphi _{nk}}$

Пусть ${\displaystyle n}$ -й солитон движется быстрее, чем ${\displaystyle m}$ -й, тогда

${\displaystyle \Delta \varphi _{n}^{+}=\Delta \varphi _{kn}={\frac {1}{\varkappa _{n}}}\ln \left|{\frac {\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}{\varkappa _{n}-\varkappa _{m}}}\right|}$

${\displaystyle \Delta \varphi _{k}^{-}=\Delta \varphi _{nk}=-{\frac {1}{\varkappa _{m}}}\ln \left|{\frac {\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}{\varkappa _{n}-\varkappa _{m}}}\right|}$

то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину ${\displaystyle \Delta \varphi _{n}^{+}}$ , а фаза более медленного — уменьшается на ${\displaystyle \Delta \varphi _{k}^{-}}$ , причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Для нелинейного уравнения Шрёдингера:

${\displaystyle iu_{t}+u_{xx}+\nu \vert u\vert ^{2}u=0}$

при значении параметра ${\displaystyle \nu >0}$ допустимы уединённые волны в виде:

${\displaystyle u\left(x,t\right)=\left({\sqrt {\frac {2\alpha }{\nu }}}\right)\mathrm {ch} ^{-1}\left({\sqrt {\alpha }}(x-Ut)\right)e^{i(rx-st)},}$

где ${\displaystyle r,s,\alpha ,U}$  — некоторые постоянные, связанные соотношениями:

${\displaystyle U=2r}$

${\displaystyle s=r^{2}-\alpha }$

Дромион — решение уравнения Дэви-Стюартсона^[16].