Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1 ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.
Более формально, факториальное кольцо определяется как область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент x можно записать в виде произведения (пустого произведения, если x обратим) неприводимых элементов pi и обратимого элемента u:
и это разложение единственно в следующем смысле: Если q1, … , qm — неприводимые элементы R и w — обратимый элемент, такие что
то m = n и существует биективное отображение φ : {1, … , n} → {1, … , m} такое что pi — элемент, ассоциированный с qφ(i) для i ∈ {1, … , n}.
Пусть A — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны:
1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов.
2. Лемма о совместной делимости. Если элемент факториального кольца делится на каждый из элементов , , … , , причём эти элементы попарно взаимно просты, тогда делится на их произведение.
3. Если , причём элементы попарно взаимно просты, тогда каждое из них имеет вид , где — обратимые элементы кольца.
4. Любую дробь , составленную из элементов факториального кольца, можно записать в несократимом виде, то есть существуют взаимно простые элементы и (однозначно определённые с точностью до ассоциирования), такие что .
5. Теорема Гаусса. Если дробь является корнем многочлена со старшим коэффициентом, равным 1 (элементы , а также все коэффициенты многочлена — элементы факториального кольца ), тогда лежит в , то есть делится на в кольце . (Данное свойство кольца называется целозамкнутостью).
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .