WikiSort.ru - Не сортированное

Действительно, пусть ${\displaystyle ab\in I}$ , ${\displaystyle a\notin I}$ . Рассмотрим идеал ${\displaystyle J=I+aA}$ . Поскольку ${\displaystyle I}$ максимален, то либо ${\displaystyle J=I}$ (что невозможно, поскольку ${\displaystyle a\notin I}$ ), либо ${\displaystyle J=A}$ . Но тогда ${\displaystyle 1\in I+aA}$ и значит ${\displaystyle b\in bI+baA=I}$ .

Пусть ${\displaystyle J}$  — простой идеал, содержащий ${\displaystyle I}$ . Если элемент ${\displaystyle f}$ принадлежит радикалу ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ , значит некоторая его степень принадлежит идеалу ${\displaystyle I\subset J}$ , значит ${\displaystyle f}$ не может принадлежать дополнению к ${\displaystyle J}$ , так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит ${\displaystyle f}$ , то содержит и все его степени). Значит ${\displaystyle f}$ необходимо принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал ${\displaystyle I}$ .
Обратно: пусть ${\displaystyle f}$ не принадлежит радикалу ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ . Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с ${\displaystyle I}$ . По предыдущей теореме существует простой идеал, содержащий ${\displaystyle I}$ и не содержащий ни одну из степеней элемента ${\displaystyle f}$ . Значит ${\displaystyle f}$ не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал ${\displaystyle I}$ .

Пусть ${\displaystyle a\in I}$ — наименьшее положительное число в ${\displaystyle I}$ . Возьмем произвольное ${\displaystyle b\in I}$ и поделим с остатком на ${\displaystyle a}$  : ${\displaystyle \qquad b=a*g+r}$ , где ${\displaystyle 0\leq r<a}$ . В силу выбора ${\displaystyle a}$ , имеем ${\displaystyle r=0}$ , т.е все элементы ${\displaystyle I}$ делятся на ${\displaystyle a}$ . ${\displaystyle I=a\mathbb {Z} }$ .

Положим, теперь, ${\displaystyle I=pA}$ . Поскольку из ${\displaystyle ab\in pA}$ должно следовать ${\displaystyle a\in pA}$ или ${\displaystyle b\in pA}$ , то ${\displaystyle p}$ — простое число.

Любой элемент ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} [x,y]}$ можно представить в виде ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y}$ , где ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in \mathbb {Q} [x,y]}$ — некоторые многочлены, ${\displaystyle a_{0}\in \mathbb {Q} }$ определено однозначно элементом ${\displaystyle a}$ . Условие ${\displaystyle ab\in I}$ равносильно тогда условию ${\displaystyle a_{0}b_{0}=0}$ , откуда следует либо ${\displaystyle a_{0}=0}$ , либо ${\displaystyle b_{0}=0}$ .