WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основная задача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей.

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители.

Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений и в том числе попыткам доказать теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство

${\displaystyle x^{n}=z^{n}-y^{n}=\prod _{i=1}^{n}(z-a_{i}y)}$ , где ${\displaystyle a_{i}}$ — корни степени ${\displaystyle n}$ из единицы.

Таким образом Куммер определил новые целые числа вида ${\displaystyle z+a_{i}y}$ . Позднее Лиувилль показал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени ${\displaystyle n}$ , то к нему нельзя подойти ближе чем на ${\displaystyle Q^{-n}}$ , приближаясь дробями вида ${\displaystyle P/Q}$ , где ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — целые взаимно простые числа^[1].

После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими^[1].

Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функции Дирихле, когомологии групп^[en] и многое другое.^{[источник не указан 1652 дня]}

Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел).

Примечания

Литература

• Алгебраическая теория чисел // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.