WikiSort.ru - Не сортированное

Область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности (однако некоторые авторы, например Бурбаки, ссылаются на кольцо главных идеалов как на целостное кольцо).

Элементы кольца главных идеалов в некотором смысле похожи на числа: для любого элемента существует единственное разложение на простые, для любых двух элементов существует наибольший общий делитель.

Области главных идеалов можно указать на следующей цепочке включений:

Коммутативные кольца ⊃ Области целостности ⊃ Факториальные кольца ⊃ Области главных идеалов ⊃ Евклидовы кольца ⊃ Поля

Кроме того, все области главных идеалов являются нётеровыми и дедекиндовыми кольцами.

Примеры

• Кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Кольцо многочленов над полем k — k[x], а также кольцо формальных степенных рядов
• Z[i] — кольцо гауссовых целых чисел
• Кольцо целых чисел Эйзенштейна

Примеры целостных колец, не являющихся кольцами главных идеалов:

• Z[x] — кольцо многочленов с целыми коэффициентами (идеал (2, x) нельзя породить одним многочленом)
• Кольцо многочленов от двух переменных k[x, y] (идеал (x, y) не является главным)

Модули

Основной результат здесь — следующая теорема: если R — область главных идеалов и M — конечнопорожденный модуль над R, то M разлагается в прямую сумму циклических модулей, то есть модулей, порожденных одним элементом. Поскольку существует сюръективный гомоморфизм из R в циклический модуль над ним (отправляющий единицу в генератор), по теореме о гомоморфизме любой циклический модуль имеет вид ${\displaystyle R/xR}$ для некоторого ${\displaystyle x\in R}$ .

В частности, любой подмодуль свободного модуля над областью главных идеалов свободен. Это неверно для произвольных колец, в качестве контрпримера можно привести вложение ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ -модулей ${\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}$ .

См. также

• Алгоритм Евклида
• Нормальная форма Смита

Литература

• Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1