Примеры
- Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел
.
- Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
- Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо
многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо
многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
- Множество действительных чисел вида
есть подкольцо поля
, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида
, где
и
целые (множество гауссовых целых чисел).
- Пусть
— связное открытое подмножество комплексной плоскости
. Тогда кольцо
всех голоморфных функций
будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
- Если
— коммутативное кольцо, а
— идеал в
, то факторкольцо
целостное тогда и только тогда, когда
— простой идеал.
Делимость, простые и неприводимые элементы
Пусть
и
— элементы целостного кольца
. Говорят, что «
делит
» или «
— делитель
» (и пишут
), тогда и только тогда, когда существует элемент
такой, что
.
Делимость транзитивна: если
делит
и
делит
, то
делит
. Если
делит
и
, то
делит также их сумму
и разность
.
Для кольца
с единицей делители единицы, то есть элементы
, делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в
имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.
Элементы
и
называются ассоциированными, если
делит
и
делит
.
и
ассоциированны тогда и только тогда, когда
, где
— обратимый элемент.
Ненулевой элемент
, не являющийся единицей, называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся обратимыми.
Ненулевой необратимый элемент
называется простым, если из того, что
, следует
или
. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце
, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если
— простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал
будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.
Свойства
- Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
- Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
- Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
- Тензорное произведение[en] целостных колец тоже будет целостным кольцом.
- Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.
Вариации и обобщения
Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности.
Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы.
Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.
Литература
- Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .