WikiSort.ru - Не сортированное

Трисекция угла при помощи невсиса

Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом.

Предположим, что имеется угол ${\displaystyle \alpha =POM}$ (рис. 1). Необходимо построить угол ${\displaystyle \beta }$ , величина которого втрое меньше данного: ${\displaystyle \alpha =3\beta }$ .

Построим окружность произвольного радиуса ${\displaystyle a}$ с центром в точке ${\displaystyle O}$ . Пусть стороны угла пересекаются с окружностью в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle M}$ . Продолжим сторону ${\displaystyle OM}$ исходного угла. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему ${\displaystyle a}$ , и используя прямую ${\displaystyle OM}$ в качестве направляющей, точку ${\displaystyle P}$ в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок ${\displaystyle AB}$ . Получим угол ${\displaystyle PAM}$ , равный одной трети исходного угла ${\displaystyle \alpha }$ .

Доказательство

Рассмотрим треугольник ${\displaystyle ABO}$ (рис. 2). Так как ${\displaystyle AB=BO=a}$ , то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: ${\displaystyle \angle BAO=\angle BOA=\beta }$ . Угол ${\displaystyle \angle PBO}$ как внешний угол треугольника ${\displaystyle ABO}$ равен ${\displaystyle 2\beta }$ .

Треугольник ${\displaystyle BPO}$ также равнобедренный, углы при его основании равны ${\displaystyle 2\beta }$ , а угол при вершине ${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-4\beta }$ . С другой стороны, ${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\beta -\alpha }$ . Следовательно,${\displaystyle 180^{\circ }-4\beta =180^{\circ }-\beta -\alpha }$ , а значит, ${\displaystyle \alpha =3\beta }$ .