WikiSort.ru - Не сортированное

Общая топология

Отображение топологических пространств ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется вложением ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ , если ${\displaystyle f:X\to f(X)\subset Y}$  — гомеоморфизм^[1] (на ${\displaystyle f(X)}$ рассматривается топология, индуцированная с ${\displaystyle Y}$ ). Каждое вложение непрерывно и инъективно.

Для пространства ${\displaystyle X}$ существование вложения ${\displaystyle X\to Y}$  — топологический инвариант. Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в ${\displaystyle Y}$ , а другое нельзя.

Дифференциальная топология

Пусть ${\displaystyle M,N}$  — гладкие многообразия и ${\displaystyle f:M\to N}$  — гладкое отображение. Оно называется погружением, если дифференциал ${\displaystyle df}$ отображения ${\displaystyle f}$ всюду инъективен. Гладкое вложение — это инъективное погружение, являющееся также вложением в вышеприведённом смысле (то есть гомеоморфизмом на свой образ).^[2]

Другими словами, прообраз вложения диффеоморфен своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием. Погружение в свою очередь является локальным вложением (то есть для каждой точки ${\displaystyle x\in M}$ существует окрестность ${\displaystyle U\subset M,x\in U}$ , такая что ${\displaystyle f:U\to N}$  — вложение).

Важный частный случай — когда N=Rⁿ. Интерес здесь представляет вопрос, насколько малым может быть n. Теорема Уитни о вложении^[3] утверждает, что достаточно n=2m, где m — размерность многообразия.

Теория колец

В теории колец вложением называется инъективный гомоморфизм колец ${\displaystyle f\colon A\to B}$ . Так как ${\displaystyle f(A)}$ является подкольцом кольца ${\displaystyle B}$ , то вложение ${\displaystyle f}$ устанавливает изоморфизм между кольцами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle f(A)}$ .