WikiSort.ru - Не сортированное

Дифференциа́льная фо́рма порядка ${\displaystyle k}$ или ${\displaystyle k}$ -форма — кососимметрическое тензорное поле типа ${\displaystyle (0,k)}$ на многообразии.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство ${\displaystyle k}$ -форм на многообразии ${\displaystyle M}$ обычно обозначают ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ .

Определения

Связанные определения

• Для ${\displaystyle k}$ -формы ${\displaystyle \omega }$ , её внешний дифференциал (также просто дифференциал) это ${\displaystyle (k+1)}$ -форма, в координатах имеющая вид ${\displaystyle d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots ,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}$

• для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть ${\displaystyle 0}$ -форм, затем дифференциал ${\displaystyle 1}$ -форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по ${\displaystyle R}$ -линейности и градуированному правилу Лейбница:
  • ${\displaystyle dF(v)=v(F)}$ — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
  • ${\displaystyle d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])}$ — значение дифференциала ${\displaystyle 1}$ -формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на значение формы на коммутаторе.
  • ${\displaystyle \ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\vartheta ^{p})}$ — где верхние индексы ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle p}$ обозначают порядки соответствующих форм.
• Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
• k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой ${\displaystyle (k-1)}$ -формы.
• Факторгруппа ${\displaystyle H_{dR}^{k}={\bar {\Omega }}_{k}/d\Omega _{k-1}}$ замкнутых k-форм по точным k-формам называется ${\displaystyle k}$ -мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
• Внутренней производной формы ${\displaystyle \omega }$ степени ${\displaystyle n}$ по векторному полю ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма

${\displaystyle i_{\mathbf {v} }\omega (u_{1},\dots ,u_{n-1})=\omega (\mathbf {v} ,u_{1},\dots ,u_{n-1})}$

Свойства

• Для дифференциалов форм ${\displaystyle \omega _{F}}$ векторного поля ${\displaystyle F}$ справедливо:

${\displaystyle d(d\omega _{F})=0}$

${\displaystyle d(\omega _{F}^{0})=\omega _{gradF}^{1}}$

${\displaystyle d(\omega _{F}^{1})=\omega _{rotF}^{2}}$

${\displaystyle d(\omega _{F}^{2})=\omega _{divF}^{3}}$

${\displaystyle d(\omega _{F}^{3})=\omega _{L2F}^{4}}$

• Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от ${\displaystyle k}$ векторов.
• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  ${\displaystyle \ d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})}$

• Для любой формы справедливо ${\displaystyle d(d\omega )=0}$ .

Примеры

• С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке ${\displaystyle p}$ многообразия ${\displaystyle M}$ и отображающий элементы касательного пространства ${\displaystyle T_{p}(M)}$ в множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :

  ${\displaystyle \omega (p)\colon T_{p}(M)\rightarrow \mathbb {R} }$

• Форма объёма — пример ${\displaystyle n}$ -формы на ${\displaystyle n}$ -мерном многообразии.
• Симплектическая форма — замкнутая 2-форма ${\displaystyle \omega }$ на ${\displaystyle 2n}$ -многообразии, такая что ${\displaystyle \omega ^{n}\not =0}$ .

Применения

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от ${\displaystyle k}$ векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на ${\displaystyle M}$ со значениями в векторном расслоении ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ определяются как сечения тензорного произведения расслоений

${\displaystyle \left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}E}$

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение ${\displaystyle TM}$ .

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса