WikiSort.ru - Не сортированное

Свойства

Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.

• Линейность: ${\displaystyle {\Big [}u,cv{\Big ]}=c{\Big [}u,v{\Big ]},\;\;\;\;c}$ - это функция, не зависящая от ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ .
• Антикоммутативность: ${\displaystyle {\Big [}u,v{\Big ]}=-{\Big [}v,u{\Big ]}}$
• ${\displaystyle {\Big [}w,u+v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}+{\Big [}w,v{\Big ]}}$
• ${\displaystyle {\Big [}u,u{\Big ]}=0}$
• ${\displaystyle {\cfrac {\partial {\Big [}u,v{\Big ]}}{\partial t}}={\Big [}{\cfrac {\partial u}{\partial t}},v{\Big ]}+{\Big [}u,{\cfrac {\partial v}{\partial t}}{\Big ]}}$
• ${\displaystyle {\Big [}w,c{\Big ]}=0}$
• ${\displaystyle {\Big [}w,u\cdot v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}v+u{\Big [}w,v{\Big ]}}$
• ${\displaystyle {\Big [}w,u(v_{1},\ldots ,v_{k}){\Big ]}=\sum _{l=1}^{k}{\cfrac {\partial u}{\partial v_{l}}}{\Big [}w,v_{l}{\Big ]}}$
• Тождество Якоби: ${\displaystyle {\Big [}{\Big [}u,v{\Big ]},w{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}v,w{\Big ]},u{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}w,u{\Big ]},v{\Big ]}=0.}$
• Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Алгебра Ли функций Гамильтона

В силу кососимметричности и билинейности ${\displaystyle \omega }$ , скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

${\displaystyle [F,G]=-[G,F]}$

${\displaystyle [F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]}$

Выражение

${\displaystyle [F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]}$

является линейной функцией вторых производных каждой из функций ${\displaystyle F,G,H}$ . Однако,

${\displaystyle {\begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\-L_{Id[G,H]}F+L_{\mathbf {G} }L_{\mathbf {H} }F-L_{\mathbf {H} }L_{\mathbf {G} }F=\\\left(-L_{Id[G,H]}+L_{[\mathbf {G} ,\mathbf {H} ]}\right)F\end{array}}}$

Это выражение не содержит вторых производных ${\displaystyle F}$ . Аналогично, оно не содержит вторых производных ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ , а потому

${\displaystyle [F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0}$

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на ${\displaystyle M}$ структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции ${\displaystyle H}$

${\displaystyle L_{Id[F,G]}H=L_{[\mathbf {F} ,\mathbf {G} ]}H}$ ,

то есть

${\displaystyle Id[F,G]=[\mathbf {F} ,\mathbf {G} ]}$

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства

• Скобки Пуассона невырождены:

${\displaystyle \forall F\not \equiv 0\ \exists H:[F,H]\neq 0}$

• Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:

${\displaystyle [F,GH]=[F,G]H+G[F,H]}$

• Функция ${\displaystyle F}$ является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом ${\displaystyle H}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle [F,H]=0}$
• Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
• Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона ${\displaystyle H}$ , заданной на многообразии ${\displaystyle M}$ . Полная производная по времени от произвольной функции ${\displaystyle f\colon M\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ запишется в виде

${\displaystyle {\begin{array}{cl}{\frac {d}{dt}}f=&{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\dot {q}}{\frac {\partial f}{\partial q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial f}{\partial p}}=\\&{\frac {\partial f}{\partial t}}+L_{\mathbf {H} }f=\\&{\frac {\partial }{\partial t}}f+[H,f]\end{array}}}$

• В канонических координатах ${\displaystyle (q_{i},p_{j})}$ скобки Пуассона принимают вид^{[Notes 3]}

${\displaystyle [f,g]=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)}$ ^[4]