WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов^[стиль].

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.

История зарождения

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. Нерелятивистское уравнение Шрёдингера соответствует классической связи кинетической энергии и импульса частицы $E=p^{2}/2m$ . Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид $E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$ . Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, в 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (бесспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Однако проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определённой величиной.

Несколько иной подход был реализован в 1928 году Дираком. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса. С учетом того же релятивистского соотношения энергии и импульса на квадрат этого оператора налагаются ограничения. Соответственно и линейные «коэффициенты» также должны удовлетворять определённому ограничению, а именно их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а «волновая функция» — четырёхкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В результате было получено уравнение Дирака, в котором участвуют т. н. 4-матрицы Дирака и четырёхкомпонентная «волновая функция». Формально уравнение Дирака записывается в виде, аналогичном уравнению Шрёдингера с гамильтонианом Дирака. Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Таким образом, переход к релятивистски инвариантным уравнениям приводит к нестандартным волновым функциям и многочастичным интерпретациям. Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Релятивистские уравнения Клейна-Гордона и Дирака рассматриваются в квантовой теории поля как уравнения для операторных полевых функций. Соответственно вводится в рассмотрение «новое» гильбертово пространство состояний системы квантовых полей, на которые действуют указанные полевые операторы. Поэтому иногда процедуру квантования полей называют «вторичным квантованием».

Классический формализм теории поля

Лагранжев формализм

В лагранжевой механике функция Лагранжа $L$ является функцией времени и динамических переменных системы и записывается в виде суммы по всем материальным точкам системы. В случае непрерывной системы, каковым является поле, сумма заменяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа — лагранжевой плотности ${\mathcal {L}}$

L(t)=L(x^{0})=\int {\mathcal {L}}(x^{0},\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} ,

где жирным выделены пространственные компоненты 4-вектора координат, а нулевая компонента — время.

Действие $S$ по определению есть интеграл по времени от лагранжиана

S=\int dtL(t)=\int dx^{0}d^{3}\mathbf {x} {\mathcal {L}}(x^{0},\mathbf {x} )=\int d^{4}x{\mathcal {L}}(x),

то есть действие в теории поля есть четырёхмерный интеграл от лагранжевой плотности по четырёхмерному пространству-времени. Поэтому в теории поля лагранжианом называют обычно лагранжеву плотность.

Поле описывается полевой функцией $\psi (x)$ , которое может быть вещественной или комплексной скалярной (псевдоскалярной), векторной, спинорной или иной функцией. В теории поля предполагается, что лагранжиан зависит только от динамических переменных — от полевой функции и её производных, то есть отсутствует явная зависимость от координат (явная зависимость от координат нарушает релятивистскую инвариантность). Локальность теории требует, чтобы лагранжиан содержал конечное количество производных и не содержал, например, интегральных зависимостей. Более того, чтобы получить дифференциальные уравнения не выше второго порядка (в целях соответствия классической механике) предполагается, что лагранжиан зависит только от полевой функции и её первых производных

{\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}(\psi (x),\partial _{\nu }{\psi }(x)).

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона) означает, что реальное изменение состояния системы происходит таким образом, чтобы действие было стационарным (вариация действия равна нулю). Этот принцип позволяет получить полевые уравнения движения — уравнения Эйлера-Лагранжа,^[1]:

{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\psi )}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}.

Поскольку физические свойства системы определяются действием, в котором лагранжиан является подынтегральным выражением, то данному лагранжиану соответствует единственное действие, но не наоборот. А именно, лагранжианы, отличающиеся друг от друга полной 4-дивергенцией некоторого 4-вектора ${\mathcal {L}}'(x)={\mathcal {L}}(x)+\partial _{\nu }f^{\nu }(x)$ , физически эквивалентны.

Лагранжиан системы полей

Лагранжиан системы невзаимодействующих (свободных) полей есть просто сумма лагранжианов отдельных полей. Уравнения движения для системы свободных полей — это совокупность уравнений движения отдельных полей.

Взаимодействие полей учитывается в лагранжиане добавлением дополнительных нелинейных слагаемых. Таким образом, полный лагранжиан системы взаимодействующих полей является суммой свободных лагранжианов ${\mathcal {L}}_{0}$ и лагранжиана взаимодействия ${\mathcal {L_{I}}}$ :

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L_{I}}}.

Введение лагранжиана взаимодействия приводит к неоднородности и нелинейности уравнений движения. Лагранжианы взаимодействия обычно являются полиномиальными функциями участвующих полей (степени не ниже третьей), умноженные на некоторую числовую константу — так называемую константу связи. Лагранжиан взаимодействия может быть пропорционален третьей или четвёртой степени самой полевой функции, произведению различных полевых функций (общая степень должна быть не ниже третьей).

Гамильтонов формализм

От лагранжева формализма можно перейти к гамильтоновому по аналогии с лагранжевой и гамильтоновой механикой. Полевая функция здесь выступает в качестве обобщенной (канонической) координаты. Соответственно необходимо определить также и обобщенный (канонический) импульс, сопряженный этой координате согласно стандартной формуле:

\pi (t,\mathbf {x} )={\frac {{\partial }{\mathcal {L}}(\psi ,\partial _{\nu }{\psi })}{{\partial }{\dot {\psi }}(t,\mathbf {x} )}}.

Тогда гамильтониан поля (плотность гамильтониана) равен по определению

{\mathcal {H}}=\pi {\dot {\psi }}-{\mathcal {L}}.

Уравнения движения в гамильтоновом подходе имеют вид:

{\dot {\psi }}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \pi }},{\dot {\pi }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \psi }}.

Динамика любых величин $F(\psi ,\pi )$ в рамках гамильтонова формализма подчиняются следующему уравнению:

{\dot {F}}=\{F,{\mathcal {H}}\},

где фигурными скобками обозначена скобка Пуассона. При этом для самих функций $\psi$ и $\pi$ выполнено следующее:

\{\psi (\mathbf {x} ,t),\pi (\mathbf {y} ,t)\}=1,\{\psi (\mathbf {x} ,t),\psi (\mathbf {y} ,t)\}=\{\pi (\mathbf {x} ,t),\pi (\mathbf {y} ,t)\}=0.

Соотношения с участием скобок Пуассона обычно и являются основой для квантования полей, когда полевые функции заменяются соответствующими операторами, а скобки Пуассона — на коммутатор операторов.

Симметрии в квантовой теории поля

Определение и виды симметрий

Симметриями в квантовой теории поля называются преобразования координат и (или) полевых функций, относительно которых инвариантны уравнения движения, а значит, инвариантно действие. Сами преобразования при этом образуют группу. Симметрии называются глобальными, если соответствующие преобразования не зависят от 4-координат. В противном случае говорят о локальных симметриях. Симметрии могут быть дискретными или непрерывными. В последнем случае группа преобразований является непрерывной (топологической), то есть в группе задана топология, относительно которой групповые операции непрерывны. В квантовой теории поля однако обычно используется более узкий класс групп — группы Ли, в которых введена не только топология, но и структура дифференцируемого многообразия. Элементы таких групп можно представить как дифференцируемые (голоморфные или аналитические) функции конечного числа параметров. Группы преобразований обычно рассматриваются в некотором представлении — элементам групп соответствуют операторные (матричные) функции параметров.

Дискретные симметрии. CPT-теорема

Наиболее важное значение имеют следующие виды преобразования:

$C$ — Зарядовое сопряжение — замена полевых функций на сопряженные.

$P$ — Четность — изменение знаков пространственных компонент на противоположный.

$T$ — Обращение времени — изменение знака временной компоненты.

Доказано, что в локальной квантовой теории поля имеет место $CPT$ -симметрия, то есть инвариантность относительно одновременного применения этих трех преобразований.

Непрерывные симметрии. Теорема Нётер

Согласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно $s$ -параметрической группы преобразований приводит к $s$ динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. А именно, пусть преобразование координат осуществляется с помощью функций $F^{\mu }(x,\omega )$ , а полевой функции — с помощью функции $U(x,\omega )$ , где ${\omega }$ — совокупность $s$ параметров. Обозначим $u_{k}$ значение производной функции $U$ по $k$ -му параметру при нулевом значении параметров, а через $f_{k}^{\mu }$ — значения производных функций $F^{\mu }(x,\omega )$ по $k$ -му параметру при нулевом значении параметров. Указанные величины по существу являются генераторами соответствующих групп преобразований.

Тогда нётеровские токи, определённые как $J_{k}^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}(\partial _{\nu }\psi f_{k}^{\nu }-u_{k})-f_{k}^{\mu }{\mathcal {L}}$ , обладают свойством $\partial _{\mu }J_{k}^{\mu }=0$ . Сохраняющимися во времени величинами («нётеровскими зарядами») являются пространственные интегралы по нулевой компоненте токов $C_{k}=\int d^{3}xJ_{k}^{0}$

Фундаментальной симметрией, присущей всем квантово-полевым теориям, является релятивистская инвариантность — инвариантность относительно неоднородной группы Лоренца (группы Пуанкаре), то есть относительно пространственно-временных трансляций и лоренцевых вращений. Ещё одной глобальной симметрией для комплексных полей является глобальная калибровочная симметрия — симметрия относительно однопараметрической группы $U(1)$ — группы умножений на $e^{i\alpha }$ . Она связана с требованием вещественности лагранжиана и наблюдаемых физических величин, что приводит к зависимости от комплексных полей только через квадратичные формы, представляющие собой произведения взаимно комплексно-сопряженных функций и их производных. Поэтому умножение на унитарный фазовый множитель $e^{i\alpha }$ не приводит к каким-либо изменениям.

Ниже в таблице приведены общие выражения для нётеровских токов и зарядов для основных глобальных симметрий и соответствующих законов сохранения.

Симметрия	Нётеровские токи	Нётеровские заряды и законы сохранения
Пространственно-временные трансляции	Тензор энергии-импульса: $T_{\nu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\partial _{\nu }\psi -{\delta }_{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}$ . В частности ${\mathcal {H}}=T_{0}^{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}\partial _{0}\psi -{\mathcal {L}}$ — гамильтониан (плотность) поля.	Закон сохранения 4-импульса: $P^{\nu }=\int d^{3}xT^{0\nu }$ , в частности энергии (гамильтониана) $H=P^{0}$
Лоренцевы вращения	Тензор (полного) момента $M^{\tau (\rho \sigma )}=M_{0}^{\tau (\rho \sigma )}+S^{\tau (\rho \sigma )}$ , где $M_{0}^{\tau (\rho \sigma )}=x^{\sigma }T^{\rho \tau }-x^{\rho }T^{\sigma \tau }$ — тензор орбитального момента, $S^{\tau (\rho \sigma )}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\tau }\psi _{i})}}A_{i}^{j(\rho \sigma )}\psi _{j}$ — тензор спинового момента (спина), где $A_{i}^{j(\rho \sigma )}$ — параметры преобразования полевых функций при лоренцевых вращениях. Для скалярных полей $S^{\tau (\rho \sigma )}=0$	Закон сохранения полного момента $M^{\rho \sigma }=M_{0}^{\rho \sigma }+S^{\rho \sigma }$ — пространственного интеграла от $M^{0(\rho \sigma )}$
Глобальная калибровочная симметрия $U(1)$ — умножение комплексной полевой функции на $e^{i\alpha }$	4-вектор заряженного тока: $J^{\mu }=i\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi ^{})}}\psi ^{}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\psi \right)$ . Для вещественных полей равны нулю.	Закон сохранения заряда (электрический заряд, барионный заряд, странность, очарование и т. д.): $Q=\int d^{3}\mathbf {x} J^{0}$ . Для вещественных полей равен нулю.

Основные характеристики базовых полей

Ниже в таблице приведены описание и основные характеристики простейших полей, являющихся базовыми при построении реальных квантово-полевых теорий — скалярные, векторные и спинорные поля.

Характеристика	Скалярное поле	Векторное поле	Спинорное поле
Полевая функция	$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\phi _{1}(x)+i\phi _{2}(x))$ — в общем случае комплексная функция. $\phi ^{}(x)$ — комплексно-сопряженная функция. Если $\phi ^{}(x)=\phi (x)$ (то есть $\phi _{2}(x)=0$ ), то имеем вещественное скалярное поле $\phi _{1}(x)$ (переобозначив её просто как $\phi (x)$ )	$A^{\mu }(x)$ — векторная функция (4-вектор), в общем случае с комплексными компонентами (заряженное векторное поле). Вещественное (нейтральное) векторное поле получается из условия равенства $A_{\mu }^{*}=A_{\mu }$ (комплексное поле приравнивается тогда к вещественному, деленному на ${\sqrt {2}}$ )	$\psi (x)$ -четырехкомпонентная функция (биспинор)-столбец, ${\bar {\psi }}=\psi ^{*}\gamma ^{0}$ — дираковски сопряженная четырёхкомпонентная функция-строка, $\gamma ^{\mu }$ — матрицы Дирака
Характер описываемых частиц	Частица со спином 0. Для вещественного поля — нейтральная, для комплексного — заряженная.	Частицы со спином 1 (проекции $0,\pm 1$ ), заряженные или нейтральные	Заряженные частицы со спином 1/2 ( $\pm 1/2$ )
Лагранжиан $({\mathcal {L}})$	$\partial _{\mu }\phi ^{}\partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{}\phi ={\mathcal {L}}(\phi _{1})+{\mathcal {L}}(\phi _{2})$ , где ${\mathcal {L}}(\phi )={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2})$ — лагранжиан для вещественного поля $\phi$	$-{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }^{}F^{\mu \nu }+m^{2}A_{\mu }^{}A^{\mu }$ , где $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ Для вещественного поля $-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{\mu }A^{\mu }$	${\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi$
Уравнения движения Эйлера-Лагранжа	$(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2})\phi =0$ (уравнение Клейна-Гордона — верно и для сопряженной функции)	$-(\partial _{\nu }\partial ^{\nu }+m^{2})A^{\mu }+\partial ^{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }=0$ (Уравнение Прока) Дифференцирование по $x^{\mu }$ приводит (если $m\neq 0$ ) к $\partial _{\nu }A^{\nu }=0$ . С этим условием (Лоренца) $(\partial _{\nu }\partial ^{\nu }+m^{2})A^{\mu }=0$	$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0$ — уравнение Дирака
Тензор энергии-импульса $(T^{\mu \nu })$ , гамильтониан $({\mathcal {H}}=T^{00})$ , 4-импульс $(P^{\nu })$	$\partial ^{\mu }\phi ^{}\partial ^{\nu }\phi -g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}$ , ${\mathcal {H}}=\pi ^{}\pi +\nabla \phi ^{}\nabla \phi +m^{2}\phi ^{}\phi$ , где $\pi ={\dot {\phi }}$ , для вещественного поля — ${\frac {1}{2}}(\pi ^{2}+(\nabla \phi )^{2}+m^{2}\phi ^{2})$	$F_{}^{\mu \sigma }\partial ^{\nu }A_{\sigma }+\partial ^{\nu }A_{\sigma }^{}F^{\mu \sigma }-g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}$	${\frac {i}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial ^{\nu }\psi -\partial ^{\nu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )$ , ${\mathcal {H}}={\frac {i}{2}}(\psi ^{}{\dot {\psi }}-{\dot {\psi }}^{}\psi )$
4-вектор тока $(J^{\mu })$ и зяряд $(Q)$	$J^{\mu }=i(\phi ^{}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{})$ , $Q=\int d^{3}\mathbf {x} (\phi ^{}{\dot {\phi }}-\phi {\dot {\phi }}^{})$ для вещественного поля равны нулю	$i(A_{\nu }^{}F^{\mu \nu }-F_{}^{\mu \nu }A_{\nu })$	$J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$ , $Q=\int d^{3}\mathbf {x} (\psi ^{*}\psi )$
Спин-тензор $(S^{\tau (\mu \nu )})$	0	$A_{}^{\mu }F^{\nu \tau }-F_{}^{\mu \tau }A^{\nu }+F_{}^{\nu \tau }A^{\mu }-A_{}^{\nu }F^{\mu \tau }$	${\frac {1}{4}}{\bar {\psi }}(\gamma ^{\tau }\sigma ^{\mu \nu }+\sigma ^{\mu \nu }\gamma ^{\tau })\psi$ , где $\sigma ^{\mu \nu }={\frac {1}{2i}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$

Локальные симметрии и калибровочные поля

Локальные преобразования можно определить как умножение полевой функции на некоторую функцию, зависящую от 4-координат. Например, локальные преобразования группы $U(1)$ — фазовое преобразование, зависящее от конкретной пространственно-временной точки, то есть умножение на $e^{i\alpha (x)}$ . Как отмечалось выше, все комплексные поля симметричны относительно аналогичных глобальных преобразований. Однако они часто неинвариантны относительно локальных преобразований. В частности, описанные выше скалярные и спинорные поля неинвариантны относительно локальных калибровочных преобразований. Причина этого — неинвариантность относительно такого преобразования обычной производной. Если ввести дополнительное поле $A_{\mu }$ и заменить производную в лагранжиане на т. н. калибровочно-ковариантную производную

D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu },

то полученный лагранжиан будет инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований. Однако полученный таким образом лагранжиан будет по сути содержать взаимодействие двух полей — исходного и калибровочного $A_{\mu }$ . По общему правилу в таком случае необходимо ввести в общий лагранжиан также слагаемое, отвечающее за лагранжиан свободного калибровочного поля. Этот лагранжиан тоже должен быть калибровочно инвариантен и выбирается как лагранжиан свободного безмассового векторного поля $-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ . В итоге, например, для спинорного поля получаем лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД):

{\mathcal {L}}_{QED}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },

то есть данный лагранжиан включает лагранжиан свободного спинорного поля Дирака, калибровочного (электромагнитного) поля и лагранжиан взаимодействия этих полей. Аналогичным образом можно написать калибровочно инвариантный лагранжиан комплексного скалярного поля — лагранжиан скалярной КЭД.

{\mathcal {L}}_{SQED}=(D_{\mu }\phi )^{*}D^{\mu }\phi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.

Таким образом, требование локальной калибровочной инвариантности лагранжиана относительно фазового преобразования (группа $U(1)$ ) приводит к появлению калибровочного поля, в данном случае — электромагнитного поля, с которым взаимодействует «основное» поле.

Указанный подход можно обобщить на случай других локальных групп симметрии. В общем случае это приводит к появлению так называемых калибровочных полей Янга-Миллса. Ковариантная производная в этом случае имеет вид:

D_{\mu }=I\partial _{\mu }-igT^{a}A_{\mu }^{a},

где $T^{a}$ — генераторы преобразований соответствующей группы (в случае с U(1) был один генератор, равный единице).

С помощью такой ковариантной производной построен, например, лагранжиан квантовой хромодинамики (КХД), соответствующий группе $SU(3)$ :

{\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }={\bar {q}}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mI\right)q-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }

, где

G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf_{bc}^{a}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}\,,

где $f_{bc}^{a}$ — структурные константы группы, участвующие в коммутаторе генераторов (матриц Гелл-Манна): $[T^{a},T^{b}]=if_{c}^{ab}T^{c}$

Импульсное представление

Для решения уравнений движения можно перейти к так называемому импульсному представлению с помощью преобразования Фурье:

\psi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int d^{4}pf(p)e^{ipx},

с учетом свойств Фурье-образа $f(p)$ , в частности Фурье-образ производных $\partial _{\mu }\psi (x)$ равен $ip_{\mu }f(p)$ .

Нахождение решения уравнений движения можно показать на примере уравнения Клейна-Гордона.

Решение уравнения и импульсное представление поля Клейна-Гордона

Переходя к импульсному представлению, уравнение Клейна-Гордона для Фурье-образа полевой функции будет иметь вид:

(p^{2}-m^{2})f(p)=0.

Следовательно, $f(p)={\sqrt {2\pi }}\delta (p^{2}-m^{2}){\tilde {f}}(p)$ (множитель ${\sqrt {2\pi }}$ - для удобства), где ${\tilde {f}}(p)$ - произвольная функция $p$ , определенная на "массовой поверхности" $p^{2}-m^{2}=0$ или выделяя временную компоненту $p_{0}=\pm {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}$ (жирным выделена пространственная часть 4-вектора импульса, то есть обычный импульс). Тогда импульсное представление имеет вид:

\phi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int d^{4}p\delta (p^{2}-m^{2})e^{ipx}{\tilde {f}}(p).

Наличие дельта-функции под знаком интеграла означает, что по существу интегрирование осуществляется не по всему 4-мерному импульсному пространству, а лишь по двум полам трехмерного гиперболоида, определяемого уравнением массовой поверхности. Два знака перед квадратным корнем определяют два независимых решения, с помощью которых полевая функция разделяется на две компоненты (каждая в отдельности релятивистки инвариантна)

\phi (x)=\phi ^{+}(x)+\phi ^{-}(x).

Тогда импульсное представление двух независимых решений имеет вид

\phi {\pm }(x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int d^{4}p\delta (p^{2}-m^{2}){\tilde {f}}^{\pm }(p)e^{\pm ipx}.

Интегрируя по временной компоненте $p_{0}$ , получим

\phi ^{\pm }(x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {2p_{0}}}}e^{\pm ipx}a^{\pm }(\mathbf {p} )

, где

a^{\pm }={\tilde {f}}^{\pm }/{\sqrt {2p_{0}}}.

Используя импульсное представление полевых функций, можно получить и остальные характеристики поля в импульсном представлении. Покажем это на примере 4-импульса для того же вещественного скалярного поля Клейна-Гордона.

Вывод импульсного представления для 4-импульса поля Клейна-Гордона

Для получения импульсного представления характеристик поля нужно выразить эти характеристики поля через функции $\phi ^{\pm }(x)$ , а затем использовать импульсные предаставления последних функций. Например? гамильтониан поля равен $H=\int d^{3}\mathbf {x} {\mathcal {H}}=1/2\int d^{3}\mathbf {x} [(\partial _{\nu }\phi (x))^{2}+m^{2}\phi ^{2}(x)]$ . Если подставить сюда разложение полевой функции на два слагаемых, то получим в квадратных скобках различные попарные произведения положительно и отрицательно частотных полевых функций и их производных. Однако можно показать, что произведения с одинаковым знаком на самом деле дают нулевой вклад. Для этого нужно использовать импульсное представление и тот факт, что произведение двух интегралов есть двойной интеграл по всевозможным комбинациям аргументов:

\int d^{3}\mathbf {x} [(\partial _{\nu }\phi ^{\pm }(x))^{2}+m^{2}(\phi ^{\pm }(x))^{2}]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \int {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}a^{\pm }(\mathbf {p} )a^{\pm }(\mathbf {p'} )e^{\pm i(p_{0}+p'_{0})x_{0}}(m^{2}-p_{\nu }p'_{\nu })\int d^{3}\mathbf {x} e^{\mp i(\mathbf {p} +\mathbf {p'} )}.

Последний интеграл в этом выражении равен, как известно, дельта-функции $\delta (\mathbf {p} +\mathbf {p'} )$ , следовательно, все выражение может быть не равно нулю, только если эта дельта-функция не равна нулю, что возможно только при условии $\mathbf {p'} =-\mathbf {p}$ (откуда следует также $p_{0}=p'_{0}$ ). Но в таком случае выражение в скобках $m^{2}-p_{\nu }p'_{\nu }=m^{2}-(p_{0}^{2}+\mathbf {p} _{n}\mathbf {p'} _{n})=m^{2}-p_{0}^{2}+\mathbf {p} ^{2}$ , что равно нулю. Следовательно, все первоначальное выражение также равно нулю. Таким образом исходный интеграл для гамильтониана должен выражаться только через произведения разнознаковых функций. Применяя аналогичный подход, мы получим, что

\int d^{3}\mathbf {x} [\partial _{\nu }\phi ^{+}(x)\partial _{\nu }\phi ^{-}(x)+m^{2}\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(x)]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \int {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}a^{+}(\mathbf {p} )a^{-}(\mathbf {p'} )e^{i(p_{0}-p'_{0})x_{0}}(m^{2}+p_{\nu }p'_{\nu })\int d^{3}\mathbf {x} e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p'} )}.

В таком случае последний интеграл дает дельта-функцию $\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} )$ , следовательно, должно быть равенство $\mathbf {p} =\mathbf {p'}$ , чтобы обеспечить ненулевой вклад в интеграл. Тогда $m^{2}+p_{\nu }p'_{\nu }=m^{2}+p_{0}^{2}+\mathbf {p} ^{2}=2p_{0}^{2}$ . Отсюда окончательно получаем

\int d^{3}\mathbf {x} [\partial _{\nu }\phi ^{+}(x)\partial _{\nu }\phi ^{-}(x)+m^{2}\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(x)]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}\mathbf {p} p_{0}a^{+}(\mathbf {p} )a^{-}(\mathbf {p} ).

Аналогично гамильтониану можно получить аналогичное выражение и для других компонент 4-вектора импульса. В итоге получаем общее выражение для 4-импульса:

P^{\mu }={\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {p} p^{\mu }(a^{+}(\mathbf {p} )a^{-}(\mathbf {p} )+a^{-}(\mathbf {p} )a^{+}(\mathbf {p} ))=\int d^{3}\mathbf {p} p^{\mu }a^{+}(\mathbf {p} )a(\mathbf {p} ).

Первое выражение оказывается нужным при квантовании - когда порядок перемножения играет роль в силу некоммутативности операторов в общем случае.

Характеристика	Скалярное поле	Векторное поле	Спинорное поле
Импульсное представление полевой функции: $f(\mathbf {p} )$ в выражении ${\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {2p_{0}}}}f(\mathbf {p} )$ . $a$ отвечает за частицу, $b$ — за античастицу.	$e^{-ipx}a(\mathbf {p} )+e^{ipx}b^{+}(\mathbf {p} )$ , для вещественного поля $b=a$ .	$\sum _{n=1}^{3}e_{\mu }^{n}(\mathbf {p} )(e^{-ipx}a_{n}(\mathbf {p} )+e^{ipx}b_{n}^{+}(\mathbf {p} ))$	$\sum _{r=1}^{2}(e^{-ipx}a_{r}(\mathbf {p} )u_{r}(\mathbf {p} )+e^{ipx}b_{r}^{+}(\mathbf {p} )v_{r}(\mathbf {p} )$
Плотность $n(\mathbf {p} )$ частиц с импульсом $\mathbf {p}$ . Общее число частиц $N=\int d^{3}\mathbf {p} n(\mathbf {p} )$ . 4-импульс поля $P^{\nu }=\int d^{3}\mathbf {p} p^{\nu }n(\mathbf {p} )$	$(a^{+}(\mathbf {p} )a(\mathbf {p} )+b^{+}(\mathbf {p} )b(\mathbf {p} ))$	$\sum _{n=1}^{3}(a_{n}^{+}(\mathbf {p} )a_{n}(\mathbf {p} )+b_{n}^{+}(\mathbf {p} )b_{n}(\mathbf {p} ))$	$\sum _{r=1}^{2}(a_{r}^{+}(\mathbf {p} )a_{r}(\mathbf {p} )-b_{r}^{+}(\mathbf {p} )b_{r}(\mathbf {p} ))$
Заряд $(Q)$	$(a^{+}(\mathbf {p} )a(\mathbf {p} )-b^{+}(\mathbf {p} )b(\mathbf {p} ))$ , для вещественного поля равен нулю	$\sum _{n=1}^{3}(a_{n}^{+}(\mathbf {p} )a_{n}(\mathbf {p} )-b_{n}^{+}(\mathbf {p} )b_{n}(\mathbf {p} ))$	$\sum _{r=1}^{2}(a_{r}^{+}(\mathbf {p} )a_{r}(\mathbf {p} )-b_{r}^{+}(\mathbf {p} )b_{r}(\mathbf {p} ))$
Проекция спина на направление импульса	0	$b_{1}^{+}a_{1}-b_{1}a_{1}^{+}+b_{2}a_{2}^{+}-b_{2}^{+}a_{2}$ , индексы 1 и 2 отвечают частицам с проекциями спина $\pm 1$ , а третий индекс — частицам с нулевой проекцией спина

Квантование полей

Квантование означает переход от полей (полевых функций) к соответствующим операторам (операторнозначным функциям), действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве, которое называется пространством Фока.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, как и классическое выражение этих величин через полевые функции (с учетом порядка перемножения, поскольку умножение операторов в общем случае некоммутативно, в отличие от произведения обычных функций). Скобка Пуассона (см. гамильтонов формализм) заменяется на коммутатор соответствующих операторов. В частности, классический гамильтонов формализм трансформируется в квантовый следующим образом:

[\psi (\mathbf {x} ,t),\psi (\mathbf {x'} ,t)]=[\pi (\mathbf {x} ,t),\pi (\mathbf {x'} ,t)]=0

,

[\pi (\mathbf {x} ,t),\psi (\mathbf {x'} ,t)]=-i\delta ^{(3)}(\mathbf {x-x'} ).

Это так называемые коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна, основанные на обычном коммутаторе — разность «прямого» и «обратного» произведения операторов

[A,B]=AB-BA.

Коммутационные соотношения Ферми-Дирака основаны на антикоммутаторе — сумма «прямого» и «обратного» произведения операторов:

[A,B]_{+}=AB+BA.

Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

Из коммутационных соотношений для полевой функции (обобщенной координаты) и соответствующего обобщенного импульса можно получить коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения квантов

[a_{\mathbf {p} },a_{\mathbf {p'} }^{+}]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),[a_{\mathbf {p} },a_{\mathbf {p'} }]=[a_{\mathbf {p} }^{+},a_{\mathbf {p'} }^{+}]=0.

Поле как набор гармонических осцилляторов

Поле можно представить в виде бесконечного множества полевых гармонических осцилляторов. Это можно показать на примере поля Клейна-Гордона. Трехмерный (по трем пространственным координатам) Фурье-образ полевой функции удовлетворяет следующему уравнению (Фурье-образ уравнения Клейна-Гордона)

\partial _{t}^{2}\phi (\mathbf {p} ,t)+(\mathbf {p} ^{2}+m^{2})\phi (\mathbf {p} ,t)=0,

что является дифференциальным уравнением для гармонического осциллятора с частотой $\omega ={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}$ каждой фиксированной моды $\mathbf {p}$ Фурье-разложения. Для каждого такого квантового гармонического осциллятора, как известно из квантовой механики, стационарные состояния $\phi _{n}$ можно связать между собой повышающим и понижающим операторами следующим образом

{\hat {a}}^{+}{\phi }_{n}={\sqrt {n+1}}{\phi }_{n+1}

,

{\hat {a}}{\phi }_{n}={\sqrt {n}}{\phi }_{n-1},

а гамильтониан равен $H={\hbar \omega }{({\hat {n}}+1/2)}$ , где ${\hat {n}}={a}^{+}a$ . Соответственно энергия осциллятора квантуется $E_{n}={\hbar }{\omega }(n+1/2)$ , где $n$ - квантовое число-собственные значения оператора ${\hat {n}}={a}^{+}a$ .

Таким образом, применение повышающего или понижающего оператора изменяет квантовое число $n$ на единицу и приводит к одинаковому изменению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией ${\hbar }{\omega }$ . Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведенные операторы, как операторы рождения и уничтожения. Любое состояние с индексом $n$ может быть представлено как действие $n$ операторов рождения на «нулевое» состояние:

{\phi }_{n}={\frac {({\hat {a}}^{+})^{n}}{\sqrt {n!}}}\phi _{0}.

В случае $N$ осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов отдельных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения ${\hat {a}}_{k}^{+},k=1,...,N$ . Следовательно, произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения $n_{k}$ — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

\phi (n_{1},...,n_{N})=\prod _{(k)}{\frac {({\hat {a_{k}}}^{+})^{n_{k}}}{\sqrt {n_{k}!}}}\phi _{0}.

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания вектора состояния как функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбужденного состояния — числом заполнения.

Фоковское пространство. Вакуум. Фоковское представление

В квантовой теории поля гамильтониан, первоначально выраженный как функция $\psi$ и $\pi$ , в конечном итоге также выражается через соответствующие операторы рождения и уничтожения квантов полей. Главный принцип сохраняется — любые операторы (в том числе и гамильтониан) выражаются через эти операторы рождения и уничтожения также как соответствующие функции до квантования. Единственное различие — порядок записи операторов имеет значение, так как операторы, в отличие от обычных функций, в общем случае некоммутативны.

Все операторы рождения и уничтожения и их комбинации, операторы самих полей и их производных — все они действуют в бесконечномерном пространстве Фока. В пространстве Фока в первую очередь определяется вакуум (вакуумное состояние) $\Phi _{0}$ или $|0\rangle$ , по аналогии с нулевым состоянием квантового осциллятора. Вакуум определяется как

a(\mathbf {p} )|0\rangle =\langle 0|a^{+}(\mathbf {p} )=0,\langle 0|0\rangle =1.

Произвольные состояния задаются как возбуждения вакуума следующего вида:

|f\rangle =\int d^{3}\mathbf {p_{1}} d^{3}\mathbf {p_{2}} ...d^{3}\mathbf {p_{k}} f(\mathbf {p_{1}} ,\mathbf {p_{2}} ,...,\mathbf {p_{k}} )a^{+}(\mathbf {p_{1}} )a^{+}(\mathbf {p_{2}} )...a^{+}(\mathbf {p_{k}} )|0\rangle .

Это и есть фоковское представление для k-частичного состояния. Функции f являются обычными квантово-механическими волновыми функциями. Обычно они предполагаются квадратично-интегрируемыми, чтобы нормы векторов состояний были конечными величинами. Однако состояния с бесконечной нормой тоже имеют смысл. Например, состояние $a^{+}(\mathbf {p} )|0\rangle$ имеет бесконечную норму $(\delta (0))$ , однако это состояние соответствует одночастичному состоянию с определённым импульсом и если рассматривать пространственную плотность таких частиц, то она оказывается конечной.

Нормальное и хронологическое произведение. Теорема Вика

Из определения вакуума следует, что вакуумное среднее произведения любого количества операторов рождения и уничтожения, в котором все операторы рождения находятся левее всех операторов уничтожения, равно нулю. Соответствующий порядок написания операторов рождения и уничтожения называется нормальной формой или нормальным упорядочением. Чтобы подчеркнуть, что операторы нормально упорядочены соответствующие произведения заключаются в скобки из двоеточий, например, $:\phi (x)\phi (y):$ или можно указать под знаком некоторого условного оператора ${\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}$

Нормальная форма, очевидно, связана с обычной через коммутатор операторов, а именно «обычная» форма равна нормальной форме плюс (анти)коммутатор соответствующих операторов («неправильно» упорядоченных). Например,

\phi (x)\phi (y)=\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(y)+\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y).

В этой записи лишь одно слагаемое записано не в нормальной форме, соответственно можно записать

\phi (x)\phi (y)=(\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(y)+\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y))+(\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)-\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x))={\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}+[\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)].

Тем самым, вакуумное среднее от исходного произведения операторов по существу будет определяться только последним коммутатором.

Хронологическое произведение определяется как упорядоченное по временной переменной (нулевой компоненте 4-координат) произведение:

Tf_{1}(x_{1})f_{2}(x_{2})...f_{n}(x_{n})=(-1)^{\sigma }f_{i_{1}}(x_{i_{1}})f_{i_{2}}(x_{i_{2}})...f_{i_{n}}(x_{i_{n}})

, где

x_{i_{1}}^{0}>x_{i_{1}}^{0}>...>x_{i_{n}}^{0},

где ${\sigma }$ — число перестановок фермионных полей между собой в ходе T-упорядочения (перестановка бозонных полей не влияет на знак).

Рассмотрим простейший случай произведения пары полевых функций в разных пространственно-временных точках $\phi (x)\phi (y)$ . Как было указано выше, данное произведение операторов можно выразить через нормальную форму плюс коммутатор. Под знаком хронологического упорядочения здесь нужно сделать модификацию — вместо коммутатора нужно использовать так называемую свертку ${\overline {\phi (x)\phi (y)}}$ , равную коммутатору $[\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)]$ , если $x^{0}>y^{0}$ и коммутатору $[\phi ^{-}(y),\phi ^{+}(x)]$ , если $y^{0}>x^{0}$ . Таким образом, хронологическое произведение двух полевых функций равно их произведению в нормальной форме плюс свертка:

{\mathcal {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}={\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}+{\overline {\phi (x)\phi (y)}}.

Теорема Вика обобщает данное представление на случай произвольного количества множителей:

{\mathcal {T}}\{f_{1}f_{2}...f_{n})\}=\sum (-1)^{\sigma }{\overline {f_{i_{1}}f_{i_{2}}}}...{\overline {f_{i_{k-1}}f_{i_{k}}}}{\mathcal {N}}\{f_{i_{k+1}}...f_{i_{n}}\},

где сумма берется по всем возможным попарным сверткам функций ( $k$ — четные числа от 0 до $n$ ).

Основные коммутационные соотношения

Определим явное выражение для вакуумного среднего от произведения полевых операторов скалярного поля Клейна-Гордона с учетом сказанного выше

\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle =\langle 0|[\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)]|0\rangle =[\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \int {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}e^{-ip(x-y)}[a(\mathbf {p} )a^{+}(\mathbf {p} )]=

$={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \int {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}e^{-ip(x-y)}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{2p_{0}}}e^{-ip(x-y)}.$

Обозначим эту функцию как $D^{-}(x-y)$ . Это амплитуда распространения частицы из точки $y$ в точку $x$ . Можно показать, что эта функция лоренц-инвариантна. Очевидно, коммутатор полевых функций выражается через эту функцию следующим образом:

[\phi (x)\phi (y)]=D^{-}(x-y)-D^{-}(y-x)=D(x-y)={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{2p_{0}}}(e^{-ip(x-y)}-e^{-ip(y-x)}).

Для любого пространственноподобного интервала $(x-y)^{2}<0$ можно выбрать систему отчета так, чтобы $x-y$ сменил знак, а в силу лоренц-инвариантности это значает, что соответствующий коммутатор равен нулю. Это означает, что в точках, разделенных пространственноподобным интервалом, возможны измерения, и они не влияют друг на друга. То есть никакое измерение не может повлиять на другое измерение вне светового конуса. Это означает соблюдение принципа причинности в квантовой теории поля. Для комплексных полей принцип причинности требует наличия пары частица-античастица с одинаковыми массами и противоположными «зарядами».

Коммутаторы полевых операторов с операторами рождения и уничтожения вывести легче. Приведем без вывода эти коммутационные соотношения.

Для скалярного поля $[a^{\pm }(\mathbf {p} ),\phi (x)]=\pm {\frac {e^{\pm ipx}}{(2\pi )^{3/2}{\sqrt {2p_{0}}}}}$

Для спинорного поля $[a_{r}(\mathbf {p} ),{\bar {\psi }}(x)]={\frac {e^{ipx}{\bar {u}}_{r}(\mathbf {p} )}{(2\pi )^{3/2}{\sqrt {2p_{0}}}}}$

Для электромагнитного поля $[a_{\lambda }(\mathbf {p} ),A_{\mu }(x)]=-{\frac {e^{ipx}e_{\mu }^{\lambda }(\mathbf {p} )}{(2\pi )^{3/2}{\sqrt {2p_{0}}}}}$

Пропагаторы

Рассмотрим вакуумное среднее от хронологического произведения двух полевых операторов скалярного поля:

D^{c}(x-y)=i\langle 0|T\phi (x)\phi (y)|0\rangle =i(\theta (x_{0}-y_{0})D^{-}(x-y)+\theta (y_{0}-x_{0})D^{-}(y-x))={\frac {i}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{2p_{0}}}(\theta (x_{0}-y_{0})e^{-ip(x-y)}+\theta (y_{0}-x_{0})e^{-ip(y-x)}).

Очевидно, функция $D^{c}(x)$ является четной. Непосредственно можно убедиться, что данная функция является функцией Грина для оператора Клейна-Гордона, то есть

(\partial ^{2}+m^{2})D^{c}(x)=\delta (x).

Следовательно, 4-мерный фурье-образ этой функции должен быть пропорционален $(m^{2}-p^{2})^{-1}$ . Однако, в силу неопределенности в точках на массовой поверхности $m^{2}-p^{2}=0$ импульсное представление данной функции записывают следующим образом:

D^{c}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{-ipx}}{m^{2}-p^{2}-i\epsilon }},

где $\epsilon$ — бесконечно малая величина, которая задает обходы полюсов $p_{0}=\pm {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}$ при интегрировании по $p_{0}$ .

Пропагаторы базовых полей (ненулевыми являются только свертки одинаковых полей противоположных зарядов)

Поле	Величина	Формула
Вещественное или комплексное скалярное поле	$\langle 0\|T\phi (x)\phi ^{*}(y)\|0\rangle$	$-iD^{c}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Спинорное поле	$\langle 0\|T\psi (x){\bar {\psi }}(y)\|0\rangle$	$({\hat {\partial }}_{x}-im)D^{c}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{-ip(x-y)}({\hat {p}}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Массивное векторное поле	$\langle 0\|TU_{\mu }(x)U_{\nu }^{*}(y)\|0\rangle$	${\frac {-i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{-ip(x-y)}(g_{\mu \nu }-p_{\mu }p_{\nu }/m^{2})}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Вещественное безмассовое векторное (электромагнитное) поле	$\langle 0\|TA_{\mu }(x)A_{\nu }(y)\|0\rangle$	${\frac {-i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{-ip(x-y)}g_{\mu \nu }}{p^{2}+i\epsilon }}$

S-матрица

Пусть задано начальное состояние полей $|in\rangle$ в «далеком» прошлом и конечное состояние в «далеком» будущем $|out\rangle$ . Предполагается, что в «далеком» прошлом и будущем взаимодействие отсутствует, а «включается» оно в некоторой конечной пространственно-временной области. Оператор $S$ , переводящий начальное состояние в конечное, называется оператором рассеяния:

|out\rangle =S|in\rangle .

Соответственно, амплитуда ${\mathcal {M}}$ перехода из начального состояния в конечное состояние равна:

{\mathcal {M}}=\langle out|S|in\rangle .

Оператор рассеяния можно выразить через матричные элементы в некотором базисе. Соответствующая бесконечномерная матрица называется матрицей рассеяния или $S$ -матрицей. Квадраты модулей матричных элементов определяют вероятности переходов между базисными векторами начального и конечного состояний.

Исходя из общих требований релятивистской ковариантности, причинности, унитарности, а также принципа соответствия можно показать, что $S$ -матрица (оператор) выражается через лагранжиан взаимодействия следующим образом (эту формулу иногда также получают с помощью теории возмущений):

S=Te^{i\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{I}(\phi (x))}=\sum _{n}{\frac {i^{n}}{n!}}T(\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{I}(x))^{n}=\sum _{n}{\frac {i^{n}}{n!}}\int T\prod _{j=1}^{n}d^{4}x_{j}{\mathcal {L}}_{I}(x_{j}),

$Te$ — хронологическая экспонента, $T$ -экспонента, понимаемая как разложение в указанный выше бесконечный ряд по $T$ -произведениям (хронологическим произведениям) $T\prod _{j=1}^{n}$ .

Пусть начальное состояние имеет вид $|in\rangle =a^{+}(\mathbf {p_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p_{s}} )|0\rangle$ , а конечное состояние $|out\rangle =a^{+}(\mathbf {p'_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p'_{r}} )|0\rangle$ . Тогда вклад $n$ -го порядка теории возмущений будет равен вакуумному среднему следующего вида (константа связи $g$ выведена из лагранжиана взаимодействия):

{\frac {i^{n}g^{n}}{n!}}\langle 0|a(\mathbf {p'_{1}} )...a(\mathbf {p'_{r}} )\int T\prod _{j=1}^{n}d^{4}x_{j}{\mathcal {L}}_{I}(x_{j})a^{+}(\mathbf {p_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p_{s}} )|0\rangle .

С учетом теоремы Вика такого рода вакуумные средние будут разложены на слагаемые, в которых за знак вакуумного среднего будут выведены все свертки в этих слагаемых, а оставшиеся полевые операторы в нормальной форме будут участвовать только в (анти)коммутаторах с операторами начального и конечного состояния, порождая стандартные вклады от таких коммутаторов. Ненулевой вклад могут дать только те слагаемые, в которых количество и тип полей под знаком нормального произведения будет соответствовать типу и общему числу частиц в начальном и конечном состояниях. Эти ненулевые вклады также выводятся за знак вакуумного среднего (ибо они не являются операторами тоже) и в этих слагаемых остаются множители с вакуумными обкладками без операторов $\langle 0|0\rangle$ , что равно единице по определению. В конечных выражениях, таким образом, не остается операторов и вакуумных обкладок, остаются свертки и выражения для коммутаторов полевых операторов с операторами начальных и конечных состояний. Свертки заменяются их импульсными представлениями — пропагаторами, а интегрирование по пространственно-временным координатам устраняет все экспоненты, заменяя их на дельта-функции от сумм 4-импульсов. Интегралы по импульсам также уничтожают большую часть этих дельта-функций. Какие именно конечные выражения получаются, можно формализовать с помощью правил и соответствующих диаграмм Фейнмана.

Пример

Правила и диаграммы Фейнмана

Функциональный интеграл

Спонтанное нарушение симметрии. Хиггсовский механизм

Расходимости. Регуляризация, перенормировка, ренормгруппа

Аксиоматическая квантовая теория поля

Подход Боголюбова

Подход Уайтмана

Подход Хаага-Рюэля

Нелокальная квантовая теория поля

Основана на предположении о нелокальности взаимодействий. Взаимодействия рассматриваемых квантовых полей происходят не в точке, а в области пространства. Это предположение позволяет избежать ультрафиолетовых расходимостей.

Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени

Квантовая теория поля может быть обобщена на случай слабоискривлённого пространства-времени^[2]. Это позволяет учесть некоторые существенные гравитационные эффекты, хотя и не является последовательной теорией квантовой гравитации. Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени справедлива в области, где искривление пространства-времени мало по сравнению с планковскими масштабами.

См. также

	Квантовая теория поля на Викискладе

Примечания

↑ В дальнейшем используется принятая в квантовой теории поля тензорная (общековариантная) запись всех уравнений с использованием правила Эйнштейна. Используется сигнатура пространства-времени (1,-1,-1,-1), соответственно интервал определяется как $s^{2}=t^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=x_{\mu }x^{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ , где в последних двух записях предполагается суммирование по повторяющимся индексам $\mu$ , то есть по четырём координатам (в плоском пространстве Минковского — просто с учетом различных знаков у координат и времени). Оператор производной (обычной) по координатам обозначается либо $\partial _{\mu }$ либо $\partial /\partial x^{\mu }$ . Оператор Даламбера в такой записи будет иметь вид: $-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ . Производную по времени обозначают либо точкой в верху функции или как ${\partial }_{0}$
↑ Stefan Hollands, Robert M. Wald. Quantum fields in curved spacetime (англ.) // Physics Reports. — 2015. — DOI:10.1016/j.physrep.2015.02.001.

Литература

Квантовая теория поля // Физическая энциклопедия / гл. редактор А. М. Прохоров.
Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. — М.: Наука, 1987. — 616 с.
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984. — 600 с. (недоступная ссылка)
Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978. — 296+408 с.
Вайнберг С. Квантовая теория поля. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 1, 2. — 648+528 с.
Вайнберг С. Квантовая теория полей. — М.: Фазис, 2002. — Т. 3. — 458 с.
Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — М.: ГИТТЛ, 1947. — 292 с.
Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
Исаев П. С. Обыкновенные, странные, очарованные, прекрасные. — М.: Энергоатомиздат, 1995. — 320 с. (об истории развития теоретических идей в физике элементарных частиц)
Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 448 с.
Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. / Ред. пер. А. А. Белавин. — Ижевск: РХД, 2001. — 784 с.
Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — 512 с.
Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества. — М.: Наука, 1988. — 144 с.

Видеолекции по КТП

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] В дальнейшем используется принятая в квантовой теории поля тензорная (общековариантная) запись всех уравнений с использованием правила Эйнштейна. Используется сигнатура пространства-времени (1,-1,-1,-1), соответственно интервал определяется как $s^{2}=t^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=x_{\mu }x^{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ , где в последних двух записях предполагается суммирование по повторяющимся индексам $\mu$ , то есть по четырём координатам (в плоском пространстве Минковского — просто с учетом различных знаков у координат и времени). Оператор производной (обычной) по координатам обозначается либо $\partial _{\mu }$ либо $\partial /\partial x^{\mu }$ . Оператор Даламбера в такой записи будет иметь вид: $-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ . Производную по времени обозначают либо точкой в верху функции или как ${\partial }_{0}$

[2] Stefan Hollands, Robert M. Wald. Quantum fields in curved spacetime (англ.) // Physics Reports. — 2015. — DOI:10.1016/j.physrep.2015.02.001.