WikiSort.ru - Не сортированное

Определения

Теорема де Рама

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если ${\displaystyle \omega }$  — замкнутая ${\displaystyle k}$ -форма, а ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$  — гомологичные ${\displaystyle k}$ -цепи (то есть ${\displaystyle M-N}$ является границей ${\displaystyle (k+1)}$ -мерной цепи ${\displaystyle W}$ ), то

${\displaystyle \int \limits _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,}$

поскольку их разность есть интеграл

${\displaystyle \int \limits _{\partial W}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.}$

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ в группу сингулярных когомологий ${\displaystyle H^{k}(M;\;\mathbf {R} )}$ . Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;\mathbf {R} ).}$

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях ${\displaystyle H^{k}(M;\;\mathbf {R} )}$ задаёт ${\displaystyle \smile }$ -умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.

Определение

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle k}$ связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.

Группами когомологий де Рама многообразия ${\displaystyle X}$ называются группы когомологий ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)}$ .

Частные случаи когомологий де Рама

• Если ${\displaystyle X}$ является гладким и полным многообразием, а характеристика поля ${\displaystyle \mathrm {char} \,k=0}$ , то когомологии де Рама являются когомологиями Вейля.
• Если многообразие ${\displaystyle X}$ есть гладкое аффинное многообразие, а поле ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ , то справедлив следующий аналог теоремы де Рама:

  ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{an},\;\mathbb {C} ),}$

где ${\displaystyle X_{an}}$  — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию ${\displaystyle X}$ .

• Например, если ${\displaystyle X}$  — дополнение к алгебраической гиперповерхности в ${\displaystyle P^{n}(\mathbb {C} )}$ , то когомологии ${\displaystyle H^{p}(X,\;\mathbb {C} )}$ могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на ${\displaystyle P^{n}(\mathbb {C} )}$ с полюсами на этой гиперповерхности.

Относительные когомологии де Рама

Для любого морфизма ${\displaystyle f\colon X\to S}$ можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

${\displaystyle \sum _{p\leqslant 0}\Gamma (\Omega _{X/S}^{p}),}$

приводящий к относительным когомологиям де Рама ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)}$ .

В случае, если многообразие ${\displaystyle X}$ является спектром кольца ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A}$ , а ${\displaystyle S=\mathrm {Spec} \,B}$ , то относительный комплекс де Рама совпадает с ${\displaystyle \Lambda \Omega _{A/B}^{1}}$ .

Когомологии ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)}$ комплекса пучков ${\displaystyle \sum _{p\leqslant 0}f_{*}\Omega _{X/S}^{p}}$ на ${\displaystyle S}$ называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли ${\displaystyle f}$  — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на ${\displaystyle S}$ .