WikiSort.ru - Не сортированное

Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма^[1], описывающая поведение функции во втором порядке.

Для функции ${\displaystyle f}$ , дважды дифференцируемой в точке ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$

или

${\displaystyle H(z)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}z_{i}{\overline {z}}_{j}}$

где ${\displaystyle a_{ij}=\partial ^{2}f/\partial x_{i}\partial x_{j}}$ (или ${\displaystyle a_{ij}=\partial ^{2}f/\partial z_{i}\partial {\overline {z}}_{j}}$ ) и функция ${\displaystyle f}$ задана на ${\displaystyle n}$ -мерном вещественном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (или комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ) с координатами ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ (или ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ). В обоих случаях гессиан — квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не меняющаяся при линейных преобразованиях переменных. Гессианом также часто называют и определитель матрицы ${\displaystyle (a_{ij}),}$ см. ниже.

Матрица Гессе

Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}}$

Определитель этой матрицы называется определителем Гессе, или просто гессианом^{[источник не указан 2166 дней]}.

Матрицы Гессе используются в задачах оптимизации методом Ньютона. Полное вычисление матрицы Гессе может быть затруднительно, поэтому были разработаны квазиньютоновские алгоритмы, основанные на приближённых выражениях для матрицы Гессе. Наиболее известный из них — алгоритм Бройдена — Флетчера — Гольдфарба — Шанно.

Симметрия матрицы Гессе

Смешанные производные функции f — это элементы матрицы Гессе, стоящие не на главной диагонали. Если они непрерывны, то порядок дифференцирования не важен:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)}$

Это можно также записать как

${\displaystyle f_{x_{i}x_{j}}=f_{x_{j}x_{i}},\quad \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}.}$

В этом случае матрица Гессе симметрична.

Критические точки функции

Если градиент ${\displaystyle f}$ (её векторная производная) равен нулю в некоторой точке ${\displaystyle x_{0}}$ , то эта точка называется критической. Достаточным условием существования экстремума в этой точке является знакоопределённость гессиана f (понимаемого в данном случае как квадратичная форма), а именно:

• если гессиан положительно определён, то ${\displaystyle x_{0}}$  — точка локального минимума функции ${\displaystyle f(x)}$ ,
• если гессиан отрицательно определён, то ${\displaystyle x_{0}}$  — точка локального максимума функции ${\displaystyle f(x)}$ ,
• если гессиан не является знакоопределённым (принимает как положительные, так и отрицательные значения) и невырожден ${\displaystyle (\det H(f)\neq 0)}$ , то ${\displaystyle x_{0}}$  — седловая точка функции ${\displaystyle f(x)}$ .

Вариации и обобщения

Если f — векторнозначная функция, то есть

${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}),}$

то её вторые частные производные образуют не матрицу, а тензор ранга 3.

История

Понятие введено Людвигом Отто Гессе (1844), который использовал другое название. Термин «гессиан» был введён Джеймсом Джозефом Сильвестром.

См. также

• Якобиан
• Критическая точка (математика)
• Лемма Морса
• Критерий Сильвестра — критерий положительной / отрицательной определённости квадратной матрицы

Примечания

Ссылки

• Камынин Л.И. Математический анализ. Т. 1, 2. - 2001.
• Кудрявцев Л.Д «Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ», ФИЗМАТЛИТ, 2002, — 424 с. — ISBN 5-9221-0185-4. Или любое другое издание.
• Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.