Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.
Симплектическое многообразие позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам.
Дифференциальная 2-форма называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю:
и для любого ненулевого касательного вектора
где — операция подстановки вектора .
Многообразие называется симплектическим, если на нём задана симплектическая структура.
Пусть — произвольная функция на симплектическом многообразии. Симплектическая структура ставит в соответствие 1-формам на особый класс векторных полей, называемых гамильтоновыми, по правилу
В силу невырожденности формы векторное поле определено однозначно, обозначим его . В канонических координатах это отображение принимает вид
соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на в алгебру Ли и определены по правилу
С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.
Многообразие называется мультисимплектическим степени , если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.
Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .