WikiSort.ru - Не сортированное

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом ${\displaystyle \ \Delta }$ . Функции ${\displaystyle F\ }$ он ставит в соответствие функцию

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}}+\ldots +{\partial ^{2} \over \partial x_{n}^{2}}\right)F}$

в n-мерном пространстве.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: ${\displaystyle \Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad} }$ , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля ${\displaystyle \ \operatorname {grad} F}$ в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$ ^[1], то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция ${\displaystyle \ f(x)}$ имеет в окрестности точки ${\displaystyle \ x_{0}}$ непрерывную вторую производную ${\displaystyle \ f''(x)}$ , то, как это следует из формулы Тейлора

${\displaystyle \ f(x_{0}+r)=f(x_{0})+rf'(x_{0})+{\frac {r^{2}}{2}}f''(x_{0})+o(r^{2}),}$ при ${\displaystyle r\to 0,}$ ,

${\displaystyle \ f(x_{0}-r)=f(x_{0})-rf'(x_{0})+{\frac {r^{2}}{2}}f''(x_{0})+o(r^{2}),}$ при ${\displaystyle r\to 0,}$

вторая производная есть предел

${\displaystyle \ f''(x_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2}{r^{2}}}\left\{{\frac {f(x_{0}+r)+f(x_{0}-r)}{2}}-f(x_{0})\right\}.}$

Если, переходя к функции ${\displaystyle \ F}$ от ${\displaystyle \ k}$ переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки ${\displaystyle M_{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{k}^{0})}$ рассматривать её ${\displaystyle \ k}$ -мерную шаровую окрестность ${\displaystyle \ Q_{r}}$ радиуса ${\displaystyle \ r}$ и разность между средним арифметическим

${\displaystyle \ {\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}Fd\sigma }$

функции ${\displaystyle \ F}$ на границе ${\displaystyle \ S_{r}}$ такой окрестности с площадью границы ${\displaystyle \ \sigma (S_{r})}$ и значением ${\displaystyle \ F(M_{0})}$ в центре этой окрестности ${\displaystyle \ M_{0}}$ , то в случае непрерывности вторых частных производных функции ${\displaystyle \ F}$ в окрестности точки ${\displaystyle \ M_{0}}$ значение лапласиана ${\displaystyle \ \Delta F}$ в этой точке есть предел

${\displaystyle \ \Delta F(M_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2k}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}F(M)d\sigma -F(M_{0})\right\}.}$

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции ${\displaystyle \ F}$ , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

${\displaystyle \ \Delta F(M_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2(k+2)}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{\omega (Q_{r})}}\int \limits _{Q_{r}}F(M)d\omega -F(M_{0})\right\},}$ где ${\displaystyle \ \omega (Q_{r})}$  — объём окрестности ${\displaystyle \ Q_{r}.}$

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в^[2].

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции ${\displaystyle \ F.}$ Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве ${\displaystyle q_{1},\ q_{2},\ q_{3}}$ :

${\displaystyle \Delta f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],}$

где ${\displaystyle H_{i}\ }$  — коэффициенты Ламе.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения

• Оператор Д’Аламбера — обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений. Включает в себя вторую производную по времени.
• Векторный оператор Лапласа — обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.

См. также

• Оператор набла
• Уравнение Лапласа
• Гармоническая функция
• Матрица Кирхгофа

Литература

Ссылки

• MathWorld description of Laplacian