WikiSort.ru - Не сортированное

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.

Расчёт полной производной функции ${\displaystyle f=f(t,x(t),y(t))}$ по времени t, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}}$ (в отличие от частной производной, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}}$ ) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.

Пример № 1

Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t_{0},x(t_{0}),y(t_{0}))=\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} t}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}},}$

что упрощается до

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t,x(t),y(t))={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}},}$

где ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}}$  — частные производные.

Следует отметить, что обозначение ${\displaystyle {\frac {df}{dt}}}$ является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Пример №2

Например, полная производная функции ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$ :

${\displaystyle {df \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}}$

Здесь нет ${\displaystyle {\partial f \over \partial t}}$ так как ${\displaystyle f}$ сама по себе («явно») не зависит от ${\displaystyle t}$ .

Приложения

• Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

См. также

• Конвективная производная
• Производная Лагранжа
• Производная по направлению

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).