WikiSort.ru - Не сортированное

А́белев дифференциа́л — голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности ${\displaystyle S}$ .

Пусть ${\displaystyle g}$ — род поверхности ${\displaystyle S;a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\ldots a_{g}b_{g}}$ — циклы канонического базиса гомологий ${\displaystyle S}$ . В зависимости от характера особенностей различают Абелев дифференциал трёх родов: I, II и III, причём имеют место строгие включения: ${\displaystyle {\mbox{I}}\subset {\mbox{II}}\subset {\mbox{III}}}$ .

Абелев дифференциал I рода

Абелев дифференциал I рода — это голоморфные всюду на ${\displaystyle S}$ дифференциалы 1-го порядка, которые в окрестности ${\displaystyle U}$ каждой точки ${\displaystyle P_{0}\in S}$ имеют вид ${\displaystyle \omega =pdz=p(z)dz}$ , где ${\displaystyle z=x+iy}$ — локальная униформизирующая переменная в ${\displaystyle U}$ , ${\displaystyle dz=dx+idy}$ , а ${\displaystyle p(z)}$ — голоморфная, или регулярная, аналитическая функция от ${\displaystyle z}$ в ${\displaystyle U}$ . Сложение абелева дифференциала и умножение на голоморфную функцию определяется естественными правилами: если

${\displaystyle \omega =pdz,\pi =qdz,a=a(z)}$ ,

то

${\displaystyle \omega +\pi =(p+q)dz,a\omega =(ap)dz}$ .

Абелев дифференциал I рода образуют векторное пространство ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ размерности ${\displaystyle g}$ . После введения скалярного произведения

${\displaystyle (\omega ,\pi )=\iint _{S}\omega *{\overline {\pi }}}$ ,

где ${\displaystyle \omega *{\overline {\pi }}}$ — внешнее произведение ${\displaystyle \omega }$ на звёздно сопряжённый дифференциал ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ , пространство ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ превращается в гильбертово пространство.

Пусть ${\displaystyle A_{1}^{\prime },B_{1}^{\prime },A_{2}^{\prime },B_{2}^{\prime },\ldots ,A_{g}^{\prime },B_{g}^{\prime }}$ суть ${\displaystyle A}$ - и ${\displaystyle B}$ -периоды абелева дифференциала I рода ${\displaystyle \omega }$ , то есть интегралы

${\displaystyle A_{j}=\int _{a_{j}}\omega ,B_{j}=\int _{b_{j}}\omega ,j=1,2,\ldots ,g}$ .

Тогда имеет место соотношение:

${\displaystyle {\|\omega \|}^{2}=i\sum _{j=1}^{g}\left(A_{j}{\overline {B}}_{j}-B_{j}{\overline {A}}_{j}\right)\geq 0}$ .

(1)

Если ${\displaystyle A_{1}^{\prime },B_{1}^{\prime },A_{2}^{\prime },B_{2}^{\prime },\ldots ,A_{g}^{\prime },B_{g}^{\prime }}$ — периоды другого абелева дифференциала I рода ${\displaystyle \pi }$ , то

${\displaystyle i(\omega ,{\overline {\pi }})=\sum _{j=1}^{g}\left(A_{j}B_{j}^{\prime }-B_{j}A_{j}^{\prime }\right)=0}$ .

(2)

Соотношения (1) и (2) называются билинейными соотношениями Римана для абелевых дифференциалов I рода. Канонический базис абелева дифференциала I рода, то есть канонический базис ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\ldots \phi _{g}}$ пространства ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ , выбирается таким образом, что

${\displaystyle A_{ij}=\int _{a_{i}}\varphi _{i}=\delta _{ij}}$ ,

где ${\displaystyle \delta _{ii}=1}$ и ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ при ${\displaystyle j\neq i}$ . При этом матрица ${\displaystyle (B_{ij}),i,j=1,2\ldots ,g,B}$ -периодов

${\displaystyle B_{ij}=\int _{b_{j}}\varphi _{ij}}$

симметрическая, а матрица мнимых частей ${\displaystyle (\operatorname {Im} \;B_{ij})}$ положительно определённая. Абелев дифференциал первого рода, у которого все ${\displaystyle A}$ -периоды или все ${\displaystyle B}$ -периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды абелева дифференциала I рода ${\displaystyle \omega }$ действенны, то ${\displaystyle \omega =0}$ .

Литература

• Неванлинна, Р. Униформизация / Р. Неванлинна ; пер. с нем. — М. : Иноиздат, 1955. — 435 с.
• Спрингер, Дж. Введение в теорию римановых поверхностей / Дж. Спрингер ; пер. с англ. Л. А. Маркушевич и Г. Ц. Тумаркина. — М. : Иноиздат, 1960. — 343 с.
• Чеботарёв, Н. Г. Теория алгебраических функций / Н. Г. Чеботарёв. — М. ; Л. : Гостехлитиздат, 1948. — 397 с.