WikiSort.ru - Не сортированное

Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема Лиувилля гласит

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в ${\displaystyle 6N}$ -мерном фазовом пространстве (${\displaystyle N}$  — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами ${\displaystyle q_{i}}$ и сопряжёнными импульсами ${\displaystyle p_{i}}$ , где ${\displaystyle i=1,\dots ,d,}$   ${\displaystyle d=3N}$ . Тогда распределение в фазовом пространстве  ${\displaystyle \rho (p_{i},q_{i})}$   определяет вероятность  ${\displaystyle \rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p}$   того, что система будет находиться в элементе объёма  ${\displaystyle \mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p}$   своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию ${\displaystyle \rho (p_{i},q_{i};t)}$ во времени ${\displaystyle t}$ согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=0.}$

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}.}$

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция ${\displaystyle \rho }$ определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \,\mathrm {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \,\mathrm {grad} \rho =0,}$

где ${\displaystyle \mathbf {v} }$  — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

${\displaystyle \nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)}$

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым, описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

${\displaystyle \rho \,\mathrm {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0,}$

где ${\displaystyle H}$  — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности ${\displaystyle d\rho /dt}$ равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей ${\displaystyle ({\dot {p}},{\dot {q}})}$ в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — ${\displaystyle p_{i}}$  — но сжимается по другой координате ${\displaystyle q_{i}}$ так, что произведение ${\displaystyle \Delta p_{i}\Delta q_{i}}$ остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объём) не изменяется.

Более точно, фазовый объём ${\displaystyle \Gamma }$ сохраняется при сдвигах времени. Если

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,}$

и ${\displaystyle \Gamma (t)}$ множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество ${\displaystyle \Gamma }$ в момент времени ${\displaystyle t}$ , тогда

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C,}$

для всех времён ${\displaystyle t}$ . Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Физическая интерпретация

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

${\displaystyle N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)}$

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил ${\displaystyle \mathbf {F} }$ с координатами ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и импульсами ${\displaystyle \mathbf {p} }$ , теорему Лиувилля можно записать в виде

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,}$

где ${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}}$  — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана, и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил ${\displaystyle \mathbf {F} }$ .

В классической статистической механике число частиц ${\displaystyle N}$ велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае ${\displaystyle \partial \rho /\partial t=0}$ можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения ${\displaystyle \rho }$ равна любой функции гамильтониана ${\displaystyle H}$ , например, в распределении Максвелла-Больцмана ${\displaystyle \rho \propto e^{-H/kT}}$ , где ${\displaystyle T}$  — температура, ${\displaystyle k}$  — постоянная Больцмана.

См. также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль.

Запись через скобку Пуассона

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах ${\displaystyle (q^{i},p_{j})}$ вид

${\displaystyle \{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}\right),}$

уравнение Лиувилля для гамильтоновых систем приобретает вид

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\,\rho ,H\,\}.}$

Запись с использованием оператора Лиувилля

При помощи оператора Лиувилля

${\displaystyle i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right],}$

для гамильтоновых систем уравнение приобретает вид

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+i{\hat {L}}\rho =0.}$

Замечания

• Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],}$

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.

• Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики. Обобщениями на системы со столкновениями являются уравнение Больцмана, и цепочка уравнений Боголюбова.

• Предположение о несжимаемости фазового потока, то есть выполнение условия

${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=0,}$  

является существенным. В общем случае произвольной динамической системы

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=Q_{i}\left({\vec {p}},{\vec {q}},t\right),}$    ${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=P_{i}\left({\vec {p}},{\vec {q}},t\right)}$  

уравнение для эволюции во времени плотности  ${\displaystyle \rho ({\vec {p}},{\vec {q}},t)}$   распределения частиц в фазовом пространстве получается из уравнения баланса

${\displaystyle \rho ({\vec {p}}',{\vec {q}}',t')d\Lambda '=\rho ({\vec {p}},{\vec {q}},t)d\Lambda ,}$  

${\displaystyle t'=t+dt,}$   ${\displaystyle p_{i}'=p_{i}+P_{i}dt,}$   ${\displaystyle q_{i}'=q_{i}+Q_{i}dt,}$   ${\displaystyle d\Lambda '=d\Lambda \left[1+dt\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{i}}}\right)\right]}$  

(последнее соотношение — это масштабирование элемента фазового объёма при бесконечно малом перемещении вдоль фазовой траектории). Итоговое уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho Q_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho P_{i})}{\partial p_{i}}}\right)=0.}$

(см. также Уравнение Фоккера — Планка), и в случае  ${\displaystyle Q_{i}=\partial H/\partial p_{i},P_{i}=-\partial H/\partial q_{i},}$   совпадает с уравнением Лиувилля.

См. также

• Интеграл Пуанкаре — Картана