WikiSort.ru - Не сортированное

Работа
${\displaystyle A,W}$
Размерность	L2MT−2
Единицы измерения
СИ	Дж
СГС	эрг
Примечания
скалярная величина

Механическая работа

${\displaystyle A={\mathbf {F}}\cdot {\mathbf {S}}=F\cdot S\cdot \cos \varphi }$ Работа силы

Ключевые статьи

Работа в физике Механическая работа Закон сохранения энергии Термодинамическая работа Первое начало термодинамики

Размерность Джоуль Эрг

Известные учёные Джоуль

См. также: Портал:Физика

Мeханическая работа — это физическая величина — скалярная количественная мера действия силы (равнодействующей сил) на тело или сил на систему тел. Зависит от численной величины и направления силы (сил) и от перемещения тела (системы тел)^[1].

Используемые обозначения

Работа обычно обозначается буквой A (от нем. Arbeit — работа, труд) или буквой W (от англ. work — работа, труд).

Определение

Работа силы, приложенной к материальной точке

Суммарная работа по перемещению одной материальной точки, совершаемая несколькими силами, приложенными к этой точке, определяется как работа равнодействующей этих сил (их векторной суммой). Поэтому дальше будем говорить об одной силе, приложенной к материальной точке.

При прямолинейном движении материальной точки и постоянном значении приложенной к ней силы, работа (этой силы) равна произведению проекции вектора силы на направление движения и длины вектора перемещения, совершённого точкой:

${\displaystyle A=F_{s}s=Fs\ \mathrm {cos} (F,s)={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}$

Здесь точкой обозначено скалярное произведение, ${\displaystyle {\vec {s}}}$  — вектор перемещения; подразумевается, что действующая сила ${\displaystyle {\vec {F}}}$ постоянна в течение времени, за которое вычисляется работа.

В общем случае, когда сила не постоянна, а движение не прямолинейно, работа вычисляется как криволинейный интеграл второго рода по траектории точки^[2]:

${\displaystyle A=\int {\vec {F}}\cdot {\vec {ds}}.}$

(подразумевается суммирование по кривой, которая является пределом ломаной, составленной из последовательных перемещений ${\displaystyle {\vec {ds}},}$ если вначале считать их конечными, а потом устремить длину каждого к нулю).

Если существует зависимость силы от координат^[3], интеграл определяется^[4] следующим образом:

${\displaystyle A=\int \limits _{{\vec {r}}_{0}}^{{\vec {r}}_{1}}{\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)\cdot {\vec {dr}}}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ и ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$  — радиус-векторы начального и конечного положения тела соответственно.

• Следствие. Если направление приложенной силы ортогонально перемещению тела или перемещение равно нулю, то работа (этой силы) равна нулю.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия вводится в механике в прямой связи с понятием работы.

Схема рассуждений такова: 1) попробуем записать работу, совершаемую всеми силами, действующими на материальную точку и, пользуясь вторым законом Ньютона (позволяющим выразить силу через ускорение), попытаться выразить ответ только через кинематические величины, 2) убедившись, что это удалось, и что этот ответ зависит только от начального и конечного состояния движения, введём новую физическую величину, через которую эта работа будет просто выражаться (это и будет кинетическая энергия).

Если ${\displaystyle A_{total}}$  — полная работа, совершённая над частицей, определяемая как сумма работ, совершенных приложенными к частице силами, то она выражается как:

${\displaystyle A_{total}=\Delta \left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=\Delta E_{k},}$

где ${\displaystyle E_{k}}$ называется кинетической энергией. Для материальной точки кинетическая энергия определяется как половина произведения массы этой точки на квадрат её скорости и выражается как^[5]:

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}.}$

Для сложных объектов, состоящих из множества частиц, кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий частиц.

Потенциальная энергия

Сила называется потенциальной, если существует скалярная функция координат, известная как потенциальная энергия и обозначаемая ${\displaystyle E_{p}}$ , такая, что

${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla E_{p}.}$

Если все силы, действующие на частицу, консервативны, и ${\displaystyle E_{p}}$ является полной потенциальной энергией, полученной суммированием потенциальных энергий, соответствующих каждой силе, тогда:

${\displaystyle {\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {s}}=-{\vec {\nabla }}E_{p}\cdot \Delta {\vec {s}}=-\Delta E_{p}\Rightarrow -\Delta E_{p}=\Delta E_{k}\Rightarrow \Delta (E_{k}+E_{p})=0}$ .

Этот результат известен как закон сохранения механической энергии и утверждает, что полная механическая энергия в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы,

${\displaystyle \sum E=E_{k}+E_{p}}$

является постоянной во времени. Этот закон широко используется при решении задач классической механики.

Работа в термодинамике

В термодинамике работа, совершённая газом при расширении^[6], рассчитывается как интеграл давления по объёму:

${\displaystyle A_{1\rightarrow 2}=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}PdV.}$

Работа, совершённая над газом, совпадает с этим выражением по абсолютной величине, но противоположна по знаку.

• Естественное обобщение этой формулы применимо не только к процессам, где давление есть однозначная функция объёма, но и к любому процессу (изображаемому любой кривой в плоскости PV), в частности, к циклическим процессам.
• В принципе, формула применима не только к газу, но и к чему угодно, способному оказывать давление (надо только чтобы давление в сосуде было всюду одинаковым, что неявно подразумевается в формуле).

Эта формула прямо связана с механической работой. Действительно, попробуем написать механическую работу при расширении сосуда, учитывая, что сила давления газа будет направлена перпендикулярно каждой элементарной площадке, равна произведению давления P на площадь dS площадки, и тогда работа, совершаемая газом для смещения h одной такой элементарной площадки будет

${\displaystyle dA=PdSh.}$

Видно, что это и есть произведение давления на приращение объёма вблизи данной элементарной площадкой. А просуммировав по всем dS, получим конечный результат, где будет уже полное приращение объёма, как и в главной формуле раздела.

Работа силы в теоретической механике

Рассмотрим несколько детальнее, чем это было сделано выше, построение определения энергии как риманова интеграла.

Пусть материальная точка ${\displaystyle M}$ движется по непрерывно дифференцируемой кривой ${\displaystyle G=\{r=r(s)\}}$ , где s — переменная длина дуги, ${\displaystyle 0\leq s\leq S}$ , и на неё действует сила ${\displaystyle F(s)}$ , направленная по касательной к траектории в направлении движения (если сила не направлена по касательной, то будем понимать под ${\displaystyle F(s)}$ проекцию силы на положительную касательную кривой, таким образом сведя и этот случай к рассматриваемому далее). Величина ${\displaystyle F(\xi _{i})\triangle s_{i},\triangle s_{i}=s_{i}-s_{i-1},i=1,2,...,i_{\tau }}$ , называется элементарной работой силы ${\displaystyle F}$ на участке ${\displaystyle G_{i}}$ и принимается за приближённое значение работы, которую производит сила ${\displaystyle F}$ , воздействующая на материальную точку, когда последняя проходит кривую ${\displaystyle G_{i}}$ . Сумма всех элементарных работ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangle s_{i}}$ является интегральной суммой Римана функции ${\displaystyle F(s)}$ .

В соответствии с определением интеграла Римана, можем дать определение работе:

Предел, к которому стремится сумма ${\displaystyle \sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangle s_{i}}$ всех элементарных работ, когда мелкость ${\displaystyle |\tau |}$ разбиения ${\displaystyle \tau }$ стремится к нулю, называется работой силы ${\displaystyle F}$ вдоль кривой ${\displaystyle G}$ .

Таким образом, если обозначить эту работу буквой ${\displaystyle W}$ , то, в силу данного определения,

${\displaystyle W=\lim _{|\tau |\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangle s_{i}}$ ,

следовательно,

${\displaystyle W=\int \limits _{0}^{s}F(s)ds}$ (1).

Если положение точки на траектории её движения описывается с помощью какого-либо другого параметра ${\displaystyle t}$ (например, времени) и если величина пройденного пути ${\displaystyle s=s(t)}$ , ${\displaystyle a\leq t\leq b}$ является непрерывно дифференцируемой функцией, то из формулы (1) получим

${\displaystyle W=\int \limits _{a}^{b}F[s(t)]s'(t)dt.}$

Размерность и единицы

Единицей измерения работы в Международной системе единиц (СИ) является джоуль, в СГС — эрг

1 Дж = 1 кг·м²/с² = 1 Н·м

1 эрг = 1 г·см²/с² = 1 дин·см

1 эрг = 10⁻⁷ Дж

См. также

• Закон сохранения энергии
• Теорема о кинетической энергии системы
• Механические приложения криволинейных интегралов

Примечания

Литература

• История механики с древнейших времен до конца XVIII в. В 2 т. М.: Наука, 1972.
• Кирпичёв В. Л. Беседы о механике. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
• Льоцци М. История физики. М.: Мир, 1970.
• Мах Э. Принцип сохранения работы: История и корень его. СПб., 1909.
• Мах Э. Механика. Историко-критический очерк её развития. Ижевск: РХД, 2000.
• Тюлина И. А. История и методология механики. М.: Изд-во МГУ, 1979.