WikiSort.ru - Не сортированное

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если ${\displaystyle a_{ij}}$ элементы матрицы ${\displaystyle A}$ , то её след ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A=\sum _{i}a_{ii}}$ . Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree)^[1].

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: ${\displaystyle \mathop {\rm {Tr}} \;A}$ (от англ. trace — след), и ${\displaystyle \mathop {\rm {Sp}} \;A}$ (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга (один раз ковариантного и один раз контравариантного) называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: ${\displaystyle TrA=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A}$ .

Свойства

• Линейность ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathop {\rm {tr}} \;A+\beta \mathop {\rm {tr}} \;B}$ .
• ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(AB)=\mathop {\rm {tr}} \;(BA)}$ .

  Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr}} \;A}$ .

• ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A=\mathop {\rm {tr}} \;A^{\mathrm {T} }}$ , где ${\displaystyle \mathrm {T} }$ означает операцию транспонирования.
• ${\displaystyle \ln \det A=\mathop {\rm {tr}} \;\ln A}$ .
• Если ${\displaystyle A\otimes B}$ тензорное произведение матриц A и B, то ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A\otimes B=(\mathop {\rm {tr}} \;A)(\mathop {\rm {tr}} \;B)}$ .
• След матрицы равен сумме её собственных значений.
• Определитель квадратной матрицы ${\displaystyle n\times n}$ можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие ${\displaystyle n}$ . Например ${\displaystyle \det A_{3\times 3}={\frac {1}{6}}\left((\mathop {\rm {tr}} A)^{3}-3\mathop {\rm {tr}} A\cdot \mathop {\rm {tr}} A^{2}+2\mathop {\rm {tr}} A^{3}\right)}$ .

См. также

• След (теория полей)

Примечания

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Trace of a square matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.