Линейная алгебра
Преобразование
называется сопряженным линейному преобразованию
, если для любых векторов
и
выполнено равенство
. У каждого преобразования существует единственное сопряженное преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой
, если пространство евклидово, и формулой
в унитарном пространстве.
здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают, соответственно, вид
и
.
Общее линейное пространство
Пусть
— линейные пространства, а
— сопряженные линейные пространства (пространства линейных функционалов, определенных на
). Тогда для любого линейного оператора
и любого линейного функционала
определён линейный функционал
— суперпозиция
и
:
. Отображение
называется сопряженным линейным оператором и обозначается
.
Если кратко, то
, где
— действие функционала
на вектор
.
Топологическое линейное пространство
Пусть
— топологические линейные пространства, а
— сопряженные топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определенных на
). Для любого непрерывного линейного оператора
и любого непрерывного линейного функционала
определён непрерывный линейный функционал
— суперпозиция
и
:
. Нетрудно проверить, что отображение
линейно и непрерывно. Оно называется сопряженным оператором и обозначается также
.
Банахово пространство
Пусть
— непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства
в банахово пространство
[1] и пусть
— сопряжённые пространства. Обозначим
. Если
— фиксировано, то
— линейный непрерывный функционал в
. Таким образом, для
определён линейный непрерывный функционал из
, поэтому определён оператор
, такой что
.
называется сопряжённым оператором.
Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определен не на всём пространстве.
Для
справедливы следующие свойства:
- Оператор
— линейный.
- Если
— линейный непрерывный оператор, то
также линейный непрерывный оператор.
- Пусть
— нулевой оператор, а
— единичный оператор. Тогда
.
-
.
-
.
-
.
-
.
Примечания
- ↑ Пространства
предполагаются комплексными
Литература
- Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.
- Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М.: Вузовская книга, 2000. — 320 с.
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
- Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.