Псевдообра́тная ма́трица — обобщение понятия обратной матрицы в линейной алгебре. Псевдообратная матрица к матрице обозначается .
Впервые концепцию псевдообратных интегрирующих операторов в 1903 году представил Фредгольм. Наиболее известно псевдообращение Мура — Пенроуза, которое было независимо описано Элиакимом Муром в 1920 году и Роджером Пенроузом в 1955 году; утверждение о существовании и единственности для любой матрицы над действительными и комплексными числами псевдообратной матрицы носит название теоремы Мура — Пенроуза.
Обобщённое обращение (англ. generalized inverse) — псевдообращение, удовлетворяющее более строгим условиям. Псевдообращение можно понимать как решение задачи наилучшей аппроксимации (по методу наименьших квадратов с предельным вариантом регуляризации) для соответствующей системы линейных уравнений . Псевдообратная матрица может быть вычислена с помощью сингулярного разложения матрицы.
называется псевдообратной матрицей для матрицы , если она удовлетворяет следующим критериям:
Здесь — эрмитово сопряжённая матрица M (для матриц над полем действительных чисел ).
Существует эквивалентный способ задания псевдообратной матрицы через предел обратных (регуляризация Тихонова):
где — единичная матрица. Этот предел существует, даже если и не определены.
Если столбцы матрицы линейно независимы, тогда матрица обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой:
Это эквивалентно тому, что в первой части определения через предел убирается слагаемое с . Отсюда следует что в этом случае — левая обратная матрица для : .
Если строки матрицы линейно независимы, тогда матрица обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой:
Это эквивалентно тому, что во второй части определения через предел полагаем . Отсюда следует, что в этом случае — правая обратная матрица для A: .
Если и столбцы, и строки линейно независимы (что верно для квадратных невырожденных матриц), то псевдообращение совпадает с обращением:
Если и таковы, что произведение определено и:
тогда
Псевдообращение можно применять и к скалярам, и к векторам. Это подразумевает, что они рассматриваются как матрицы соответствующей размерности. Псевдообратный к скаляру — ноль, если — ноль, и обратный к в противном случае:
Псевдообратный для нулевого вектора — транспонированый нулевой вектор. Псевдообратный для ненулевого вектора — сопряжённый транспонированный вектор, делённый на квадрат своей длины:
Для доказательства достаточно проверить, что эти величины удовлетворяют определению псевдообратных.
Если существует, то из равенства:
следует
что порождает понятие псевдообращения
Пусть — ранг матрицы размера . Тогда может быть представлена как , где B — матрица размера с линейно независимыми столбцами и — матрица размера с линейно независимыми строками. Тогда:
Если имеет полнострочный ранг, то есть , тогда в качестве может быть выбрана единичная матрица и формула сокращается до . Аналогично, если имеет полностолбцовый ранг, то есть, , то .
Простейший вычислительный путь получения псевдообратной матрицы — использовать сингулярное разложение.
Если — сингулярное разложение , тогда . Для диагональной матрицы, такой как , псевдообратная получается из неё заменой каждого ненулевого элемента на диагонали на обратный к нему, с последующим транспонированием самой матрицы.
Существуют оптимизированые подходы вычисления псевдообратной для блочных матриц.
Иногда объём расчётов по нахождению псевдообратной матрицы можно сократить, если известна псевдообратная для некоторой аналогичной матрицы. В частности, если аналогичная матрица отличается от начальной на один изменённый, добавленный или удалённый столбец или строку — существуют накопительные алгоритмы, которые могут использовать взаимосвязь между матрицами.
Псевдообращение тесно связано с методом наименьших квадратов (МНК) для системы линейных уравнений.
В этом методе задача решения данной системы заменяется задачей минимизации квадрата евклидовой нормы невязки . На практике МНК обычно используют когда исходная система несовместна, однако ниже мы рассмотрим случай когда эта система совместна.
Общее решение неоднородной системы представимо как сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы .
Лемма: Если существует, тогда общее решение всегда представимо как сумма псевдообратного решения неоднородной системы и решения однородной системы:
Доказательство:
. |
Здесь вектор произвольный (с точностью до размерности). В двух других членах есть псевдообратная матрица . Переписав её в форме , приведём выражение к форме:
Первый член — псевдообратное решение. В терминах метода наименьших квадратов — это , дающее минимальную евклидову норму для невязки. Следующий член даёт решение однородной системы , потому что — оператор проектирования на образ оператора и, соответственно, — оператор проектирования на ядро оператора .
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .