WikiSort.ru - Не сортированное

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры

Функциональному уравнению:

${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$ ,

где ${\displaystyle \Gamma (z)}$  — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta }$ .

Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}$

${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$

${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$ (формула дополнения Эйлера)

Функциональное уравнение:

${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$ ,

где ${\displaystyle a,b,c,d}$ являются целыми числами, удовлетворяющими равенству ${\displaystyle ad-bc=1}$ , то есть:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1}$ ,

определяет ${\displaystyle f}$ как модулярную форму порядка ${\displaystyle k}$ .

Функциональные уравнения Коши:

• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$  — удовлетворяют все линейные однородные функции ${\displaystyle f(x)=ax}$ ,
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$  — удовлетворяют все показательные функции ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x}}$ ,
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$  — удовлетворяют все логарифмические функции ${\displaystyle f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)}$ ,
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$  — удовлетворяют все степенные функции ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a}}$ .

Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$ приводится к уравнению ${\displaystyle g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})}$ после замены ${\displaystyle g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|}$ (для этого, естественно, нужно, чтобы ${\displaystyle f(x)}$ не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ . Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».

Другие:

• ${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]}$  — квадратичное уравнение или тождество параллелограмма, удовлетворяет ${\displaystyle f(x)=kx^{2}}$ ,
• ${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$  — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ,
• ${\displaystyle f(x+y)f(x-y)=f(x)^{2}}$  — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет ${\displaystyle f(x)=ac^{x}}$ ,
• ${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)f(y)]}$  — уравнение Даламбера,
• ${\displaystyle f(h(x))=f(x)+1}$  — уравнение Абеля^[en],
• ${\displaystyle f(h(x))=cf(x)}$  — уравнение Шрёдера^[en], решением является функция Кёнигса, связанная с функцией ${\displaystyle \textstyle h(x)}$ .

Рекуррентные соотношения

Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.

Линейные рекуррентные соотношения:

${\displaystyle a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(n-i)}$

(где ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{k}}$  — константы, не зависящие от ${\displaystyle n}$ ) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения:

${\displaystyle a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)}$ ,

достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.

Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию ${\displaystyle a(n)=\lambda ^{n}}$ с неопределённым параметром ${\displaystyle \lambda }$ и попробовать найти те ${\displaystyle \lambda }$ , при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение ${\displaystyle \lambda ^{2}=3\lambda +4}$ с двумя различными корнями ${\displaystyle \lambda =-1}$ и ${\displaystyle \lambda =4;}$ поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула ${\displaystyle a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n}}$ (константы ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ подбираются так, чтобы при ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=2}$ формула давала нужные значения для величин ${\displaystyle a(1)}$ и ${\displaystyle a(2)}$ ). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции ${\displaystyle n\lambda ^{n},}$ ${\displaystyle n^{2}\lambda ^{n}}$ и так далее.

Одним из широко известных рекуррентных соотношений является ${\displaystyle a(n)=a(n-1)+a(n-2)}$ , определяющее последовательность Фибоначчи.

Решение функциональных уравнений

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых ${\displaystyle f(f(x))=x}$ ; простейшие инволюции:

${\displaystyle f(x)=-x}$ , ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ , ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}+1}$ , ${\displaystyle f(x)=1-x}$ .

Например, для решения уравнения:

${\displaystyle f^{2}(x+y)=f^{2}(x)+f^{2}(y)}$

для всех ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to R}$ , положим ${\displaystyle x=y=0}$ : ${\displaystyle f^{2}(0)=f^{2}(0)+f^{2}(0)}$ . Тогда ${\displaystyle f^{2}(0)=0}$ и ${\displaystyle f(0)=0}$ . Далее, положив ${\displaystyle y=-x}$ :

${\displaystyle f^{2}(x-x)=f^{2}(x)+f^{2}(-x)}$

${\displaystyle f^{2}(0)=f^{2}(x)+f^{2}(-x)}$

${\displaystyle 0=f^{2}(x)+f^{2}(-x)}$

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит ${\displaystyle f^{2}(x)=0}$ для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ является единственным решением этого уравнения.

Литература

• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
• Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
• Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
• Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки

• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text on functional equations in problem solving.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы.