WikiSort.ru - Не сортированное

Инъекция в математике — отображение ${\displaystyle f}$ множества ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle Y}$ (${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ), при котором разные элементы множества ${\displaystyle X}$ переводятся в разные элементы множества ${\displaystyle Y}$ , то есть, если два образа при отображении совпадают, то совпадают и прообразы: ${\displaystyle f(x)=f(y)\Rightarrow x=y}$ .

Инъекцию также называют вложением или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая взаимно-однозначна). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ аналогичная фраза формулируется как отображение ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ .

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ инъективно, если существует ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ , при котором ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ .

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма, во многих категориях эти понятия эквивалентны, однако это выполнено не всегда.

Примеры:

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x}$  — инъективно и сюръективно.
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}$  — инъективно.
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}$  — не является инъективным (${\displaystyle f(-2)=f(2)=4}$ ).

Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных. Другой пример — идеальное хеширование.

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (недоступная ссылка)
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.

См. также

• Сюръекция
• Отображение
• Морфизм
• Гомоморфизм
• Изоморфизм
• Эндоморфизм
• Автоморфизм
• Мономорфизм
• Эпиморфизм
• Биморфизм

Для улучшения этой статьи желательно: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Проставив сноски, внести более точные указания на источники.