WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции $\ y=f(x)$ при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен $\ P_{n}(x)$ степени $\ n$ , значения которого в заданных точках $x_{0},\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{n}$ совпадают со значениями $y_{0},\ y_{1},\ \ldots ,\ y_{n}$ функции $\ f$ в этих точках. Многочлен $\ P_{n}(x)$ определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Интерполяционная формула Лагранжа

Функция $f(x)=f_{0}+f_{1}x+f_{2}x^{2}+\ldots$ может быть интерполирована на отрезке $[x_{0},x_{n}]$ интерполяционным многочленом $P_{n}(x)$ , записанным в форме Лагранжа:

$f(x)\approx P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},$

при этом ошибка интерполирования функции $\ f(x)$ многочленом $\ P_{n}(x)$ :

$|f(x)-P_{n}(x)|\leq {\frac {\|f^{(n+1)}(x)\|}{(n+1)!}}\cdot \|\Pi _{n}(x)\|,\qquad \Pi _{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n}).$

В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:

$\|f^{(n+1)}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|,\qquad \|\Pi _{n}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|\Pi _{n}(x)|.$

Интерполяционная формула Ньютона

Если точки $x_{0},\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{n}$ расположены на равных расстояниях $\ (x_{k}=x_{0}+kh)$ , многочлен $\ P_{n}(x)$ можно записать так:

$P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+{\frac {t}{1!}}\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}$

(здесь $\ x_{0}+th=x$ , а $\ \Delta ^{k}$ — разности k-го порядка: $\ \Delta ^{k}y_{i}=\Delta ^{k-1}y_{i+1}-\Delta ^{k-1}y_{i}$ ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения $\ y$ , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только справа от $\ x_{0}$ . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений $\ x$ , близких к $\ x_{0}$ . При интерполировании функций для значений $\ x$ , близких к $\ x_{k}$ , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой $k$ -й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов:

$P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,C_{m}^{k}\,f_{m-k}\right)$

где $C_{x}^{m}$ — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Интерполяционная формула Стирлинга

$f(x_{0}+th)=y_{0}\ +\ {\frac {t}{1!}}\mu \delta y_{0}\ +\ {\frac {t^{2}}{2!}}\delta ^{2}y_{0}\ +\ {\frac {t(t^{2}-1^{2})}{3!}}\mu \delta ^{3}y_{0}\ +\ {\frac {t^{2}(t^{2}-1^{2})}{4!}}\delta ^{4}y_{0}\ +\$

$\ +\ {\frac {t(t^{2}-1^{2})(t^{2}-2^{2})}{5!}}\mu \delta ^{5}y_{0}\ +\ \cdots \ +\ {\frac {t^{2}(t^{2}-1^{2})(t^{2}-2^{2})\cdots [t^{2}-(k-1)^{2}]}{(2k)!}}\delta ^{2k}y_{0}$

(о значении символа $\ \mu$ и связи центральных разностей $\ \delta ^{m}$ с разностями $\ \Delta ^{m}$ см. Конечных разностей исчисление)

Применяется при интерполировании функций для значений $\ x$ , близких к одному из средних узлов $\ a$ ; в этом случае естественно взять нечётное число узлов $x_{-k},\ \ldots ,\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{k}$ , считая $\ a$ центральным узлом $\ x_{0}$ .

Интерполяционная формула Бесселя

$f(x_{0}+th)\approx \mu y_{1/2}\ +\ {\frac {(t-1/2)}{1!}}\delta y_{1/2}\ +\ {\frac {t(t-1)}{2!}}\mu \delta ^{2}y_{1/2}\ +\ {\frac {t(t-1)(t-1/2)}{3!}}\delta ^{3}y_{1/2}\ +\$

$\ +\ {\frac {t(t-1)(t+1)(t-2)}{4!}}\mu \delta ^{4}y_{1/2}\ +\ {\frac {t(t-1)(t+1)(t-2)(t-1/2)}{5!}}\delta ^{5}y_{1/2}\ +\ \cdots \ \ +\$

$\ +\ {\frac {t(t-1)(t+1)\cdots (t-k)(t+k-1)(t-1/2)}{(2k+1)!}}\delta ^{2k+1}y_{1/2}$

Применяется при интерполировании функций для значений $\ x$ , близких середине $\ a$ между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов $x_{-k},\ \ldots ,\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{k},\ x_{k+1}$ , и располагать их симметрично относительно $a(x_{0}\ <a\ <\ x_{1}).$

См. также

Интерполяция

Ссылки

Большая советская энциклопедия

Литература

Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии