WikiSort.ru - Не сортированное

Теоре́ма Га́усса — Ва́нцеля утверждает, что правильный ${\displaystyle n}$ -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m}}$ , где ${\displaystyle p_{i}}$ — различные простые числа Ферма. Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера ${\displaystyle \varphi (n)}$ является степенью числа два.

История

Античным геометрам были известны способы построения правильных ${\displaystyle n}$ -угольников для ${\displaystyle n=2^{k},3\cdot 2^{k},5\cdot 2^{k}}$ и ${\displaystyle 3\cdot 5\cdot 2^{k}}$ .

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных ${\displaystyle n}$ -угольников при ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdots p_{m}}$ , где ${\displaystyle p_{i}}$ — различные простые числа Ферма. (Здесь случай ${\displaystyle m=0}$ соответствует числу сторон ${\displaystyle n=2^{k}}$ .)

В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки:

• Построение правильного 17-угольника было непосредственно осуществлено самим Гауссом, но впервые опубликовано К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 году.
• Правильный 257-угольник построил Ф. Ю. Ришело в 1832 году^[1].
• В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом 10-летней работы И. Г. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.

Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением[2]. Дж. Литлвуд

Примечания

• Жак Сезиано История построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки от Евклида до Гаусса Семинар по истории математики 4 мая 2017 года 18:00, Санкт-Петербург, ПОМИ, Фонтанка 27, аудитория 106.