WikiSort.ru - Не сортированное

Теоре́ма Брахмагу́пты — теорема элементарной геометрии, найденная в седьмом столетии нашей эры индийским математиком Брахмагуптой.

Замечание. По аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника отрезок FE на рисунке справа называют антимедиатрисой противоположных сторон четырёхугольника. С учетом этого замечания теорема Брахмагупты может быть сформулирована в виде:

Доказательство

На рисунке изображён вписанный четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ , имеющий перпендикулярные диагонали ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ , а прямая ${\displaystyle ME}$ перпендикулярна стороне ${\displaystyle BC}$ и пересекает сторону ${\displaystyle DA}$ в точке ${\displaystyle F}$ . Тогда ${\displaystyle \angle {DMF}=\angle {BME}=\angle {MCE}\equiv \angle {ACB}=\angle {ADB}\equiv \angle {FDM}.}$ Следовательно, треугольник ${\displaystyle FMD}$  — равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и треугольник ${\displaystyle FAM}$ . Поэтому ${\displaystyle |FA|=|FM|=|FD|}$ .

Антицентр и коллинеарность

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного ортодиагонального четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке^[1][2]. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно «вершинного центроида». Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, «вершинный центроид» и антицентр лежат на одной прямой^[2].

Примечания

Литература

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-170-0.
• Nathan Altshiller-Court. College geometry : an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle. — Dover Publications, Inc., 2007. — ISBN 0-486-45805-9.
• Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. — Mathematical Association of America, 1995. — Vol. 37. — P. 17—26. — (New Mathematical Library). — ISBN 0-88385-639-5 (Vol. 37). — ISBN 0-88385-600-X (complete set).

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.

В сносках к статье найдены неработоспособные викиссылки. Исправьте короткие примечания, установленные через шаблон {{sfn}} или его аналоги, в соответствии с инструкцией к шаблону, или добавьте недостающие публикации в раздел источников. Список: Altshiller-Court, 2007, Honsberger, 1995.