WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема о сумме углов многоугольника выражает сумму углов евклидова многоугольника через число его сторон

Формулировка

Сумма внутренних углов n-угольника равна 180°(n − 2).

Доказательство

Для случая выпуклого n-угольника

В случае n=3 смотреть Теорема о сумме углов треугольника.

Пусть ${\displaystyle A_{1}A_{2}...A_{n}}$  — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам (n − 3) диагонали: ${\displaystyle A_{1}A_{3},A_{1}A_{4},A_{1}A_{5}...A_{1}A_{n-1}}$ . Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на (n − 2) треугольника: ${\displaystyle \Delta A_{1}A_{2}A_{3},\Delta A_{1}A_{3}A_{4},...,\Delta A_{1}A_{n-1}A_{n}}$ . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n − 2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n − 2). Теорема доказана.

Примечания

Теорема о сумме углов многоугольника для многоугольников на сфере не выполняется (а также на любой другой искажённой плоскости, кроме некоторых случаев). Подробнее смотрите неевклидовы геометрии.

См. также

• Теорема о сумме углов треугольника
• Теорема о повороте кривой — дифференциальногеометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.