WikiSort.ru - Не сортированное

Пример 1

Если обозначить для данного момента времени число ядер, способных к радиоактивному превращению, через ${\displaystyle N}$ , а промежуток времени через ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$ , где ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$  — достаточно близкие моменты времени ${\displaystyle (t_{1}<t_{2})}$ , и число разлагающихся атомных ядер в этот отрезок времени через ${\displaystyle n}$ , то ${\displaystyle n=KN(t_{2}-t_{1})}$ , где коэффициент пропорциональности ${\displaystyle K={0,693 \over T_{1/2}}}$ носит название константы распада. Если принять разность (${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$ ) равной единице, то есть интервал времени наблюдения равным единице, то ${\displaystyle K=n/N}$ и, следовательно, константа распада показывает долю от наличного числа атомных ядер, испытывающих распад в единицу времени. Следовательно, распад совершается так, что в единицу времени распадается одна и та же доля от наличного числа атомных ядер, что определяет закон экспоненциального распада.

Величины периодов полураспада для различных изотопов различны; для некоторых, особенно быстро распадающихся, период полураспада может быть равным миллионным долям секунды, а для некоторых изотопов, как уран-238 и торий-232, он соответственно равен 4,498⋅10⁹ и 1,389⋅10¹⁰ лет. Легко подсчитать число атомов урана-238, испытывающих превращение в данном количестве урана, например, в одном килограмме в течение одной секунды. Количество любого элемента в граммах, численно равное атомному весу, содержит, как известно, 6,02⋅10²³ атомов. Поэтому согласно приведённой выше формуле ${\displaystyle n=KN(t_{2}-t_{1})}$ найдём число атомов урана, распадающихся в одном килограмме в одну секунду, имея в виду, что в году 365*24*60*60 секунд,

${\displaystyle {\frac {0,693}{4,498\cdot 10^{9}\cdot 365\cdot 24\cdot 60\cdot 60}}{\frac {6,02\cdot 10^{23}}{238}}\cdot 1000=12\cdot 10^{6}.}$

Вычисления приводят к тому, что в одном килограмме урана в течение одной секунды распадается двенадцать миллионов атомов. Несмотря на такое огромное число, всё же скорость превращения ничтожно мала. Действительно, в секунду распадается следующая часть урана:

${\displaystyle {\frac {12\cdot 10^{6}\cdot 238}{6,02\cdot 10^{23}\cdot 1000}}=47\cdot 10^{-19}.}$

Таким образом, из наличного количества урана в одну секунду распадается его доля, равная

${\displaystyle 47 \over 10000000000000000000.}$

Обращаясь опять к основному закону радиоактивного распада KN(t₂ — t₁), то есть к тому факту, что из наличного числа атомных ядер в единицу времени распадается всего одна и та же их доля и, имея к тому же ввиду полную независимость атомных ядер в каком-либо веществе друг от друга, можно сказать, что этот закон является статистическим в том смысле, что он не указывает какие именно атомные ядра подвергнутся распаду в данный отрезок времени, а лишь говорит об их числе. Несомненно, этот закон сохраняет силу лишь для того случая, когда наличное число ядер очень велико. Некоторые из атомных ядер распадутся в ближайший момент, в то время как другие ядра будут претерпевать превращения значительно позднее, поэтому когда наличное число радиоактивных атомных ядер сравнительно невелико, закон радиоактивного распада может и не выполняться во всей строгости.

Пример 2

Образец содержит 10 г изотопа плутония Pu-239 с периодом полураспада 24 400 лет. Сколько атомов плутония распадается ежесекундно?

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot 2^{-t/T_{1/2}}.}$

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-{\frac {N_{0}\ln 2}{T_{1/2}}}\cdot 2^{-t/T_{1/2}}=-{\frac {N\ln 2}{T_{1/2}}}.}$

${\displaystyle N={\frac {m}{\mu }}N_{A}={\frac {10}{239}}\cdot 6\cdot 10^{23}=2.5\cdot 10^{22}.}$

${\displaystyle T_{1/2}=24400\cdot 365.24\cdot 24\cdot 3600=7.7\cdot 10^{11}s.}$

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}={\frac {N\ln 2}{T_{1/2}}}={\frac {2.5\cdot 10^{22}\cdot 0.693}{7.7\cdot 10^{11}}}=2.25\cdot 10^{10}~s^{-1}.}$

Мы вычислили мгновенную скорость распада. Количество распавшихся атомов вычислим по формуле

${\displaystyle \Delta N=\Delta t\cdot {\frac {dN}{dt}}=1\cdot 2.25\cdot 10^{10}=2.25\cdot 10^{10}.}$

Последняя формула действительна только тогда, когда рассматриваемый период времени (в данном случае — 1 секунда) значительно меньше, чем период полураспада. Когда рассматриваемый период времени сравним с периодом полураспада, следует пользоваться формулой

${\displaystyle \Delta N=N_{0}-N(t)=N_{0}\left(1-2^{-t/T_{1/2}}\right).}$

Эта формула пригодна в любом случае, однако для малых периодов времени требует вычислений с очень большой точностью. Для данной задачи:

${\displaystyle \Delta N=N_{0}\left(1-2^{-t/T_{1/2}}\right)=2.5\cdot 10^{22}\left(1-2^{-1/7.7\cdot 10^{11}}\right)=2.5\cdot 10^{22}\left(1-0.99999999999910\right)=2.25\cdot 10^{10}.}$