Одномерный случай
Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,
где
и
Пусть также эти функции дифференцируемы:
Тогда их композиция также дифференцируема:
и её производная имеет вид:
-
Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал функции
в точке
имеет вид:
-
где
— дифференциал тождественного отображения
:
-
Пусть теперь
Тогда
, и согласно цепному правилу:
-
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Многомерный случай
Пусть даны функции
где
и
Пусть также эти функции дифференцируемы:
и
Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид
-
.
В частности, матрица Якоби функции
является произведением матриц Якоби функций
и
-
Следствия
- Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
-
Для частных производных сложной функции справедливо
-
Пример
Пусть дана функция трёх переменных
и требуется найти её частную производную по переменной
. Функция
может быть записана как
где
-
-
-
-
Тогда частная производная функции
по переменной
будет иметь следующий вид:
-
Вычисляем производные:
-
Подставляем найденные производные:
-
В итоге
-
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .