WikiSort.ru - Не сортированное

Модальная логика (от лат. modus — способ, мера) — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы).

Сравнение с формальной логикой

Формальную логику можно упростить до цепочки истинное знание→процесс→выводы.

Откуда брать истинное знание для формальных логик если только единичные истинные знания универсальны?..

Логика должна отвечать на реальные жизненные ситуации, а универсальных истин немного.

Модальная логика в широком смысле оперирует:

• знаниями
• предположениями (то, что не знаем)
• вопросами (частично в логике знаний)
• задачами (что сделать, чтобы получить знание)^{[уточнить]}

То есть является более реальным/практичным расширением логики высказываний и логики первого порядка.

Примеры утверждений

Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России» или «Санкт-Петербург, когда-то в прошлом, был столицей России», которые невозможно или крайне сложно выразить в немодальном языке. Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости).

Обычно для обозначения модального оператора используется ${\displaystyle \Box }$ и двойственный к нему ${\displaystyle \diamondsuit }$ :

${\displaystyle \diamondsuit A=\neg \Box \neg A.}$

Это отражает то, что сказать «Москва когда-то была столицей России» то же самое, что сказать «не верно, что Москва никогда не была столицей России».

Модальности

Модальности бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-нибудь в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то», «близко» и т. д.).

• Алетические (от др.-греч. ἀλήθεια — истина) модальные понятия:
  • Логические:
    • L — необходимо,
    • M — возможно,
    • С — случайно.
  • Фактические:
    • ${\displaystyle \Box }$  — необходимо,
    • ${\displaystyle \Diamond }$  — возможно,
    • ${\displaystyle \triangle }$  — случайно.

• Аксиологические (др.-греч. ἀξίᾱ — ценность) модальные понятия:
  • хорошо,
  • нейтрально,
  • плохо.

Аксиологическую логику разработал философ А. А. Ивин.

• Временные:
  • прошлое,
  • настоящее,
  • будущее.

• Пространственные:
  • там,
  • здесь,
  • нигде.

Логика знаний

Оперирует понятиями «знает» «полагает».

Деонтическая логика

Оперирует понятиями: обязательство, разрешение, норма.

«Ты обязан это сделать» («Твой долг это сделать») либо «Ты можешь это сделать»

Эти понятия пытались внедрить достаточно давно, но значительный результат был только у Георга фон Вригта в Deontic Logic, Mind, New Series, Vol. 60, No. 237. (Jan., 1951), pp. 1-15.^[1]

Статья 2007 года о реализации деонтической логики. A Formal Language for Electronic Contracts^[2] использующий µ-calculus и реализацию mu-cke от A. Biere^[3]

Семантика

В математической логике и информатике наиболее распространённой является семантика Крипке, также существуют алгебраическая семантика, топологическая семантика и ряд других.

Синтаксис

Модальная формула определяется рекурсивно как слово в алфавите состоящем из счетного множества пропозициональных переменных ${\displaystyle PL}$ , классических связок ${\displaystyle \to ,\bot }$ , скобок ${\displaystyle (}$ , ${\displaystyle )}$ и модального оператора ${\displaystyle \Box }$ . А именно, формулой является

1. ${\displaystyle p}$ для любого ${\displaystyle p\in PL}$ .
2. ${\displaystyle \bot }$ .
3. ${\displaystyle (A\to B)}$ , если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$  — формулы.
4. ${\displaystyle (\Box A)}$ , если ${\displaystyle A}$  — формула.

Нормальной модальной логикой называется множество модальных формул, содержащее все классические тавтологии, аксиому нормальности

${\displaystyle \Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)}$

и замкнутое относительно правил Modus ponens ${\displaystyle {\frac {A,A\to B}{B}}}$ , подстановки ${\displaystyle {\frac {A(p)}{A(B)}}}$ и введение модальности ${\displaystyle {\frac {A}{\Box A}}}$ .

Минимальная нормальная модальная логика обозначается ${\displaystyle K}$ .

Замечания

• теория двойников обеспечивает перевод языка квантифицированной модальной логики в первопорядковую теорию (но не наоборот) без каких-либо интенсиональных операторов типа «возможно» и «необходимо»^[4]

Примечания

Литература

• Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic.— Oxford University Press, 1997. (на английском)
• Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic.— CambridgeUniversity Press, 2002.
• Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. — М: Наука, 1976. — 720с.
• Фейс Р., Модальная логика.— Главная редакция физ-мат литературы изд-ва «Наука», М. 1974.
• Шкатов Д. П., Модальная логика и модальные фрагменты классической логики.— Институт философии РАН, 2008. ISBN 978-5-9540-0128-0 (см. описание книги: в Озоне)

См. также

• Логика знаний

Ссылки

• http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/
• https://cgi.csc.liv.ac.uk/~frank/MLHandbook Handbook of Modal Logic за авторством Patrick Blackburn, Johan van Benthem, Frank Wolter

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.