WikiSort.ru - Не сортированное

Логика первого порядка, называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высших порядков.

Основные определения

Язык логики первого порядка строится на основе сигнатуры, состоящей из множества функциональных символов ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и множества предикатных символов ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ . С каждым функциональным и предикатным символом связана арность, то есть число возможных аргументов. Допускаются как функциональные, так и предикатные символы арности 0. Первые иногда выделяют в отдельное множество констант. Кроме того, используются следующие дополнительные символы:

• символы переменных (обычно ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle z}$ , ${\displaystyle x_{1}}$ , ${\displaystyle y_{1}}$ , ${\displaystyle z_{1}}$ , ${\displaystyle x_{2}}$ , ${\displaystyle y_{2}}$ , ${\displaystyle z_{2}}$ и т. д.);
• логические операции:

Символ	Значение
${\displaystyle \neg }$	Отрицание («не»)
${\displaystyle \land }$	Конъюнкция («и»)
${\displaystyle \lor }$	Дизъюнкция («или»)
${\displaystyle \to }$	Импликация («если ..., то ...»)

• кванторы:

Символ	Значение
${\displaystyle \forall }$	Квантор всеобщности
${\displaystyle \exists }$	Квантор существования

• служебные символы: скобки и запятая.

Перечисленные символы вместе с символами из ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ образуют алфавит логики первого порядка. Более сложные конструкции определяются индуктивно.

• Терм есть символ переменной, либо имеет вид ${\displaystyle f(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ , где ${\displaystyle f}$  — функциональный символ арности ${\displaystyle n}$ , а ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$  — термы.
• Атом (атомарная формула) имеет вид ${\displaystyle p(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ , где ${\displaystyle p}$  — предикатный символ арности ${\displaystyle n}$ , а ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$  — термы.
  • Например, ${\displaystyle (x+1)\times (x+1)\geqslant 0}$ это атомарная формула, истинная для любого действительного числа ${\displaystyle x}$ . Формула состоит из 2-арного предиката ${\displaystyle \geqslant }$ , аргументами которого являются термы ${\displaystyle (x+1)\times (x+1)}$ и 0. При этом терм ${\displaystyle (x+1)\times (x+1)}$ состоит из константы 1 (которую можно считать 0-арной функцией), переменной ${\displaystyle x}$ и символов бинарных (2-арных) функций + и ×.
• Формула — это либо атом, либо одна из следующих конструкций: ${\displaystyle \neg F}$ , ${\displaystyle F_{1}\lor F_{2}}$ , ${\displaystyle F_{1}\land F_{2}}$ , ${\displaystyle F_{1}\to F_{2}}$ , ${\displaystyle \forall xF}$ , ${\displaystyle \exists xF}$ , где ${\displaystyle F,F_{1},F_{2}}$  — формулы, а ${\displaystyle x}$  — переменная.

Переменная ${\displaystyle x}$ называется связанной в формуле ${\displaystyle F}$ , если ${\displaystyle F}$ имеет вид ${\displaystyle \forall xG}$ либо ${\displaystyle \exists xG}$ , или же представима в одной из форм ${\displaystyle \neg H}$ , ${\displaystyle F_{1}\lor F_{2}}$ , ${\displaystyle F_{1}\land F_{2}}$ , ${\displaystyle F_{1}\to F_{2}}$ , причём ${\displaystyle x}$ уже связана в ${\displaystyle H}$ , ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ . Если ${\displaystyle x}$ не связана в ${\displaystyle F}$ , её называют свободной в ${\displaystyle F}$ . Формулу без свободных переменных называют замкнутой формулой, или предложением. Теорией первого порядка называют любое множество предложений.

Аксиоматика и доказательство формул

Система логических аксиом логики первого порядка состоит из аксиом исчисления высказываний дополненной двумя новыми аксиомами:

• ${\displaystyle \forall xA\to A[t/x]}$ ,
• ${\displaystyle A[t/x]\to \exists xA}$ ,

где ${\displaystyle A[t/x]}$  — формула, полученная в результате подстановки терма ${\displaystyle t}$ вместо каждой свободной переменной ${\displaystyle x}$ , встречающейся в формуле ${\displaystyle A}$ .

В логике первого порядка используется два правила вывода:

• Modus ponens (это правило используется также и в логике высказываний):

  ${\displaystyle {\frac {A,A\to B}{B}}}$

• Правило обобщения (англ.):

  ${\displaystyle {\frac {A}{\forall xA}}}$

Интерпретация

В классическом случае интерпретация формул логики первого порядка задается на модели первого порядка, которая определяется следующими данными:

• Несущее множество ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ,
• Семантическая функция ${\displaystyle \sigma }$ , отображающая
  • каждый ${\displaystyle n}$ -арный функциональный символ ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ в ${\displaystyle n}$ -арную функцию ${\displaystyle \sigma (f)\colon \,{\mathcal {D}}\times \ldots \times {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ ,
  • каждый ${\displaystyle n}$ -арный предикатный символ ${\displaystyle p}$ из ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ в ${\displaystyle n}$ -арное отношение ${\displaystyle \sigma (p)\subseteq {\mathcal {D}}\times \ldots \times {\mathcal {D}}}$ .

Обычно принято отождествлять несущее множество ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ и саму модель, подразумевая неявно семантическую функцию, если это не ведет к неоднозначности.

Предположим, ${\displaystyle s}$  — функция, отображающая каждую переменную в некоторый элемент из ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ , которую мы будем называть подстановкой. Интерпретация ${\displaystyle [\![t]\!]_{s}}$ терма ${\displaystyle t}$ на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ относительно подстановки ${\displaystyle s}$ задается индуктивно:

1. ${\displaystyle [\![x]\!]_{s}=s(x)}$ , если ${\displaystyle x}$  — переменная,
2. ${\displaystyle [\![f(x_{1},\ldots ,x_{n})]\!]_{s}=\sigma (f)([\!\![\,x_{1}]\!]_{s},\ldots ,[\![x_{n}]\!]_{s})}$

В таком же духе определяется отношение истинности ${\displaystyle \models _{s}}$ формул на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ относительно ${\displaystyle s}$ :

• ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}p(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sigma (p)([\!\![\,t_{1}]\!]_{s},\ldots ,[\![t_{n}]\!]_{s})}$ ,
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\neg \phi }$ , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi }$  — ложно,
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi \land \psi }$ , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi }$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\psi }$ истинны,
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi \lor \psi }$ , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi }$ или ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\psi }$ истинно,
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi \to \psi }$ , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi }$ влечет ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\psi }$ ,
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\exists x\,\phi }$ , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s'}\phi }$ для некоторой подстановки ${\displaystyle s'}$ , которая отличается от ${\displaystyle s}$ только значением на переменной ${\displaystyle x}$ ,
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\forall x\,\phi }$ , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s'}\phi }$ для всех подстановок ${\displaystyle s'}$ , которые отличается от ${\displaystyle s}$ только значением на переменной ${\displaystyle x}$ .

Формула ${\displaystyle \phi }$ истинна на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ (что обозначается как ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models \phi }$ ), если ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi }$ для всех подстановок ${\displaystyle s}$ . Формула ${\displaystyle \phi }$ называется общезначимой (что обозначается как ${\displaystyle \models \phi }$ ), если ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models \phi }$ для всех моделей ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ . Формула ${\displaystyle \phi }$ называется выполнимой, если ${\displaystyle {\mathcal {D}}\models \phi }$ хотя бы для одной ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ .

Свойства и основные результаты

Логика первого порядка обладает рядом полезных свойств, которые делают её очень привлекательной в качестве основного инструмента формализации математики. Главными из них являются:

• полнота (это означает, что для любой замкнутой формулы выводима либо она сама, либо её отрицание);
• непротиворечивость (ни одна формула не может быть выведена одновременно со своим отрицанием).

При этом если непротиворечивость более или менее очевидна, то полнота — нетривиальный результат, полученный Гёделем в 1930 году (теорема Гёделя о полноте). По сути теорема Гёделя устанавливает фундаментальную эквивалентность понятий доказуемости и общезначимости.

Логика первого порядка обладает свойством компактности: если некоторое множество формул не выполнимо, то невыполнимо также некоторое его конечное подмножество.

Согласно теореме Лёвенгейма — Скулема если множество формул имеет модель, то оно также имеет модель не более чем счётной мощности. С этой теоремой связан парадокс Скулема, который, однако, является лишь мнимым парадоксом.

Использование

Логика первого порядка как формальная модель рассуждений

Являясь формализованным аналогом обычной логики, логика первого порядка даёт возможность строго рассуждать об истинности и ложности утверждений и об их взаимосвязи, в частности, о логическом следовании одного утверждения из другого, или, например, об их эквивалентности. Рассмотрим классический пример формализации утверждений естественного языка в логике первого порядка.

Возьмем рассуждение «Каждый человек смертен. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен». Обозначим «x есть человек» через ЧЕЛОВЕК(x) и «x смертен» через СМЕРТЕН(x). Тогда утверждение «каждый человек смертен» может быть представлено формулой: ${\displaystyle \forall }$ x(ЧЕЛОВЕК(x) → СМЕРТЕН(x)) утверждение «Сократ — человек» формулой ЧЕЛОВЕК(Сократ), и «Сократ смертен» формулой СМЕРТЕН(Сократ). Утверждение в целом теперь может быть записано формулой

(${\displaystyle \forall }$ x(ЧЕЛОВЕК(x) → СМЕРТЕН(x)) ${\displaystyle \land }$ ЧЕЛОВЕК(Сократ)) → СМЕРТЕН(Сократ)

См. также

• Логика высказываний
• Логика второго порядка
• Алгоритм Тарского

Литература

• Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947
• Клини С. К. Введение в метаматематику. М., 1957
• Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1976
• Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1959
• Черч А. Введение в математическую логику, т. I. М. 1960