WikiSort.ru - Не сортированное

Минор ${\displaystyle A{\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}\dots \alpha _{k}\\\beta _{1}&\beta _{2}\dots \beta _{k}\end{bmatrix}}}$ матрицы ${\displaystyle A}$ ― определитель такой квадратной матрицы ${\displaystyle B}$ порядка ${\displaystyle k}$ (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице ${\displaystyle A}$ на пересечении строк с номерами ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{k}}$ и столбцов с номерами ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{k}}$ .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые ${\displaystyle k}$ строк и первые ${\displaystyle k}$ столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы ${\displaystyle n}$ -го порядка есть определитель порядка ${\displaystyle n-1}$ , соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путём вычеркивания ${\displaystyle i}$ -й строки и ${\displaystyle j}$ -го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Пример

Дана матрица:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{pmatrix}}}$

Предположим, необходимо найти дополнительный минор второго порядка ${\displaystyle M_{23}}$ . Этот минор получается путём вычеркивания второй строки и третьего столбца:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}}$ ${\displaystyle \longrightarrow }$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=1\cdot 9-4\cdot (-1)=13}$

Получаем ${\displaystyle M_{23}=13}$

См. также

• Дополнительный минор