WikiSort.ru - Не сортированное

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

${\displaystyle A=\left|{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}\right|.}$

Тогда эта форма положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры ${\displaystyle \Delta _{i}}$ положительны. Форма отрицательно определена, тогда и только тогда, когда знаки ${\displaystyle \Delta _{i}}$ чередуются, причём ${\displaystyle \Delta _{1}<0}$ ^[1]. Здесь угловыми минорами матрицы ${\displaystyle A}$ называются определители вида

${\displaystyle \Delta _{1}=a_{11},\ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},...,}$

${\displaystyle \Delta _{i}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1i}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2i}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ii}\end{vmatrix}},...,}$

${\displaystyle \Delta _{n}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}.}$

Для положительно полуопределённых матриц критерий звучит подобным образом: Форма положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все главные миноры неотрицательны. Здесь главным минором называется определитель подматрицы симметричной относительно главной диагонали, то есть подматрицы, у которой множества задающих её номеров столбцов и строк одинаковые (напр. 1-й и 3-й столбцы и строки, на пересечении которых расположена матрица).

Доказательство

См. также

• Д. Сильвестр

Примечания