WikiSort.ru - Не сортированное

Наи́вная тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик Георг Кантор. Множество есть любое собрание определённых и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Для задания элементов множества используется форма. В качестве основных аксиом принимаются аксиома объемности, принцип абстракции и аксиома выбора.^[1]

Работы Кантора

К созданию абстракции точечного множества Кантора подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории тригонометрических рядов (продолжавшие труды Римана), в которых он вводит понятие предельной точки, близкое к современному^[2], и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные)^[3].

Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в 1873 году Кантор обнаруживает счётность множества рациональных чисел и решает отрицательно^[en] вопрос о равномощности множеств целых и вещественных чисел (последний результат публикует в 1874 году по настоянию Вейерштрасса^[4][5]). В 1877 году Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (для любого ${\displaystyle n>0}$ ). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с 1879 года вплоть до 1884 года публикует шесть статей в Mathematische Annalen с результатами исследований бесконечных точечных множеств^[6][7].

В 1877 году Дедекинд публикует статью «О числе классов идеалов конечного поля», в которой явно в символическом виде оперирует с множествами — полями, модулями, идеалами, кольцами, и использует для них отношение включения (используя знаки «<» и «>»), операции объединения (со знаком «+») и пересечения (с инфиксом «−»), и, кроме того, фактически приходит к алгебре множеств, указывая на двойственность операций объединения и пересечения, в обозначениях Дедекинда:

${\displaystyle (A+B)-(A+C)=A+(B-(A+C))}$ ,

${\displaystyle (A-B)+(A-C)=A-(B-(A-C))}$ ,

в последующих своих работах многократно используя этот результат^[8]. В публикации 1878 года о равномощности континуумов разного числа измерений, Кантор использует теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие мощности множества, доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля алгебраических чисел предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ (Люрот^[de], Томе^[de], Нетто) с неудачными попытками доказать невозможность одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей^[9] (точное доказательство этого факта дал Брауэр в 1911 году).

В 1880 году Кантор формулирует две ключевых идеи теории множеств — понятие о пустом множестве и метод трансфинитной индукции. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: Вольтерра, Дюбуа-Реймон, Бендиксон^[se], Гарнак, в основном в связи с вопросами об интегрируемости функций^[10]. В работе 1883 года Кантор даёт исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия совершенного множества и плотности множества (отличающиеся от современных, используемых в общей топологии, но принципиально сходных с ними), а также строит классический пример нигде не плотного совершенного множества (известный как канторово множество)^[11], а также в явном виде формулирует континуум-гипотезу (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках ZFC показана Коэном в 1963 году).

Развитие идей Кантора

С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет публикует лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?»^[12] (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как арифметика Пеано) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности — для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована теорема Кантора — Бернштейна^[13], изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций^[14]. Шрёдер в 1895 году обращает внимание на совпадение алгебры множеств и исчисления высказываний, тем самым устанавливая глубокую связь между математической логикой и теорией множеств.

В 1895—1897 годы Кантор публикует цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств^[15][16].

Признание теории

С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были Герман Шварц и, в наибольшей степени, Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известно его высказывание о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии^[17].

Тем не менее, к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной. Во многом этому способствовали доклады Ж. Адамара и А. Гурвица на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе, а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе Д. Гильбертом («Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» — говорит Гильберт в своих «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году)^[18].

Примечания

Литература

• Бурбаки Н.  Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / Под ред. И. Г. Башмаковой. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. — 292 с. — (Элементы математики). — С. 37—53.
• Кантор Г.  Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — 430 с. — (Классики науки). — 3450 экз..
• Коэн П. Дж.  Об основаниях теории множеств = Cohen P. J. Comments on the foundations of set theory // Proc. Sym. Pure Math., 1971, 13 (1). — P. 9–15. // Успехи математических наук / Пер. с англ. Ю. И. Манина. — 1974. — Т. XXIX, вып. 5 (179). — С. 169—176.
• Куратовский К., Мостовский А.  Теория множеств / Пер. с англ. М. И. Кратко под ред. А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
• Медведев Ф. А.  Развитие теории множеств в XIX веке. — М.: Наука, 1965. — 232 с. — 2500 экз.
• Френкель А., Бар-Хиллел И.  Основания теории множеств / Пер. с англ. Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина. — М.: Мир, 1966. — 556 с.