WikiSort.ru - Не сортированное

Нигде не плотное множество — множество ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle (X,\tau )}$ , внутренность замыкания которого пуста (${\displaystyle \operatorname {Int} {\bar {A}}=\varnothing }$ ), иначе говоря, множество, которое не является плотным ни в одной окрестности пространства ${\displaystyle X}$ .

Эквивалентно, множество ${\displaystyle A\subseteq X}$ является нигде не плотным в ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда в каждом непустом открытом множестве ${\displaystyle U}$ можно найти непустое открытое множество ${\displaystyle V}$ , не пересекающееся с ${\displaystyle A}$ (то есть ${\displaystyle V\subseteq U\setminus A}$ ).

Свойства

• Семейство ${\displaystyle {\rm {NWD}}(X)}$ всех нигде не плотных множеств пространства ${\displaystyle X}$ образуют идеал подмножеств ${\displaystyle X}$ , то есть:

  если ${\displaystyle A,B\in {\rm {NWD}}(X)}$ , то ${\displaystyle A\cup B\in {\rm {NWD}}(X)}$ ,

  если ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(X)}$ и ${\displaystyle B\subseteq A}$ , то ${\displaystyle B\in {\rm {NWD}}(X)}$ ,

  ${\displaystyle X\notin {\rm {NWD}}(X)}$ .

• Если ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X}$ и ${\displaystyle A}$ является нигде не плотным в ${\displaystyle Y}$ (${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(Y)}$ где топология в ${\displaystyle Y}$ индуцированна от ${\displaystyle X}$ ), тогда ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(X)}$ .
• Пусть ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X}$ и ${\displaystyle Y}$  — плотное подмножество в ${\displaystyle X}$ . Тогда ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(X)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A\in {\rm {NWD}}(Y)}$ .
• Множество ${\displaystyle A}$ является нигде не плотным тогда и только тогда, когда его замыкание является нигде не плотным множеством. Таким образом, каждое нигде не плотное множество содержится в некотором замкнутом нигде не плотном множестве.
• Замкнутое нигде не плотное множество является границей открытого множества.

См.. также

• Множество первой категории

Литература

• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.