WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема (БЧХ-коды) — в теории кодирования это широкий класс циклических кодов, применяемых для защиты информации от ошибок (см. Обнаружение и исправление ошибок). Отличается возможностью построения кода с заранее определёнными корректирующими свойствами, а именно, минимальным кодовым расстоянием. Частным случаем БЧХ-кодов является код Рида — Соломона.

Формальное описание

БЧХ-код является циклическим кодом, который можно задать порождающим полиномом. Для его нахождения в случае БЧХ-кода необходимо заранее определить длину кода $n$ (она не может быть произвольной) и требуемое минимальное расстояние $d\leqslant n$ . Найти порождающий полином можно следующим образом.

Пусть $\alpha$ — примитивный элемент поля $GF(q^{m})$ (то есть $\alpha ^{q^{m}-1}=1,\;\alpha ^{i}\neq 1,\;i<q^{m}-1$ ), пусть $\beta =\alpha ^{s}$ , — элемент поля $GF(q^{m})$ порядка $n,\quad s=(q^{m}-1)/n$ . Тогда нормированный полином $g(x)$ минимальной степени над полем $GF(q)$ , корнями которого являются $d-1$ подряд идущих степеней $\beta ^{l_{0}},\;\beta ^{l_{0}+1},\;\ldots ,\;\beta ^{l_{0}+d-2}$ элемента $\beta$ для некоторого целого $l_{0}$ (в том числе 0 и 1), является порождающим полиномом БЧХ-кода над полем $GF(q)$ с длиной $n$ и минимальный расстоянием $d_{0}\geqslant d$ . Поясним почему у получившегося кода будут именно такие характеристики (длина кода $n$ , минимальное расстояние $d_{0}$ ). Действительно, как показано у Сагаловича^[1], длина БЧХ кода равна порядку элемента $\beta$ , если $d>2$ и равна порядку элемента $\beta ^{l_{0}}$ , если $d=2$ , тогда, так как случай $d=2$ нам не интересен (такой код не может исправлять ошибки, только обнаруживать), то длина кода будет равна порядку элемента $\beta$ ,то есть равна $n$ . Минимальное расстояние $d_{0}$ может быть больше $d$ , когда корнями минимальных функций^[2] от элементов $\beta ^{l_{0}},\;\beta ^{l_{0}+1},\;\ldots ,\;\beta ^{l_{0}+d-2}$ будут элементы расширяющие последовательность, то есть элементы $\beta ^{l_{0}+d-1},\;\beta ^{l_{0}+d},\;\ldots ,\;\beta ^{l_{0}+d_{0}-2}$ .

Число проверочных символов $r$ равно степени $g(x)$ , число информационных символов $k=n-r$ , величина $d$ называется конструктивным расстоянием БЧХ-кода. Если $n=q^{m}-1$ , то код называется примитивным, иначе непримитивным.

Так же, как и для циклического кода, кодовый полином $c(x)$ может быть получен из информационного полинома $m(x)$ , степени не больше $k-1$ , путём перемножения $m(x)$ и $g(x)$ :

$c(x)=m(x)g(x).$

Построение

Для нахождения порождающего полинома необходимо выполнить несколько этапов:

выбрать $q$ , то есть поле $GF(q)$ , над которым будет построен код;
выбрать длину $n$ кода из условия $n=(q^{m}-1)/s$ , где $m,s$ — целые положительные числа;
задать величину $d$ конструктивного расстояния;

1) построить циклотомические классы элемента $\beta =\alpha ^{s}$ поля $GF(q^{m})$ над полем $GF(q)$ , где $\alpha$ — примитивный элемент $GF(q^{m})$ ;

2) поскольку каждому такому циклотомическому классу соответствует неприводимый полином над $GF(q)$ , корнями которого являются элементы этого и только этого класса, со степенью равной количеству элементов в классе, то выбрать $\beta ^{l_{0}},\beta ^{l_{0}+1},\ldots ,\beta ^{l_{0}+d-2}$ таким образом, чтобы суммарная длина циклотомических классов была минимальна; это делается для того, чтобы при заданных характеристиках кода $n$ и $d$ минимизировать количество проверочных символов $k$ ;

3) вычислить порождающий полином $g(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\ldots f_{h}(x)$ , где $f_{i}(x)$ — полином, соответствующий $i$ -му циклотомическому классу; или вычислить $g(x)$ , как НОК минимальных функций от элементов $\beta ^{l_{0}},\beta ^{l_{0}+1},\ldots ,\beta ^{l_{0}+d-2}$ ^[3].

Примеры кодов

Примитивный двоичный (15, 7, 5) код

Пусть $q=2$ , требуемая длина кода $n=2^{4}-1=15$ и минимальное расстояние $d_{0}\geqslant d=5$ . Возьмем $\alpha$ — примитивный элемент поля $GF(16)$ , и $\alpha ,\;\alpha ^{2},\;\alpha ^{3},\;\alpha ^{4}$ — четыре подряд идущих степеней элемента $\alpha$ . Они принадлежат двум циклотомическим классам над полем $GF(2)$ , которым соответствуют неприводимые полиномы $f_{1}(x)=x^{4}+x+1$ и $f_{2}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ . Тогда полином

g(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)=x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+1

имеет в качестве корней элементы $\alpha ,\;\alpha ^{2},\;\alpha ^{3},\;\alpha ^{4}$ и является порождающим полиномом БЧХ-кода с параметрами $(15,\;7,\;5)$ .

16-ричный (15, 11, 5) код (код Рида — Соломона)

Пусть $n=q-1=15$ и $\alpha$ — примитивный элемент $GF(16)$ . Тогда

$g(x)=(x-\alpha )(x-\alpha ^{2})(x-\alpha ^{3})(x-\alpha ^{4})=x^{4}+\alpha ^{13}x^{3}+\alpha ^{6}x^{2}+\alpha ^{3}x+\alpha ^{10}.$

Каждый элемент поля $GF(16)$ можно сопоставить 4 битам, поэтому одно кодовое слово эквивалентно 60 = 15 × 4 битам, таким образом набору из 44 бит ставится в соответствие набор из 60 бит. Можно сказать, что такой код работает с полубайтами информации.

Кодирование

Для кодирования кодами БЧХ применяются те же методы, что и для кодирования циклическими кодами.

Методы декодирования

Коды БЧХ являются циклическими кодами, поэтому к ним применимы все методы, используемые для декодирования циклических кодов. Однако существуют гораздо лучшие алгоритмы, разработанные именно для БЧХ-кодов^[4].

Главной идеей в декодировании БЧХ кодов является использование элементов конечного поля для нумерации позиций кодового слова(или, эквивалентно, в порядке коэффициентов ассоциированного многочлена). Ниже приведена такая нумерация для вектора $r=(r_{0},\;r_{1},\;\ldots ,\;r_{n-1})$ , соответствующего многочлену $r(x)$ .

значения	$r_{0}$	$r_{1}$	$\ldots$	$r_{n-1}$
локаторы позиций	$1$	$\alpha$	$\ldots$	$\alpha ^{n-1}$

Пусть принятое слово ассоциировано с полиномом $r(x)=\nu (x)+e(x)$ , где многочлен ошибок определён как: $e(x)=e_{J_{1}}x^{J_{1}}+e_{J_{2}}x^{J_{2}}+\ldots +e_{J_{\nu }}x^{J_{\nu }}$ , где $\nu \leqslant t_{d}$ число ошибок в принятом слове. Множества $\{e_{J_{1}},\;e_{J_{2}},\;\ldots ,\;e_{J_{\nu }}\}$ и $\{\alpha ^{J_{1}},\;\alpha ^{J_{2}},\;\ldots ,\;\alpha ^{J_{\nu }}\}$ называют значениями ошибок и локаторами ошибок соответственно, где $e_{J}\in GF(q)$ и $\alpha \in GF(q^{m})$ .

Синдромы определены как значения принятого полинома $r(x)$ в нулях порождающего многочлена кода:

        $S_{1}=r(\alpha ^{b})=e_{J_{1}}\alpha ^{bJ_{1}}+e_{J_{2}}\alpha ^{bJ_{2}}+\ldots +e_{J_{\nu }}\alpha ^{bJ_{\nu }}$ 

        $S_{2}=r(\alpha ^{b+1})=e_{J_{1}}\alpha ^{(b+1)J_{1}}+e_{J_{2}}\alpha ^{(b+1)J_{2}}+\ldots +e_{J_{\nu }}\alpha ^{(b+1)J_{\nu }}$ 

        $\vdots$ 

        $S_{2t_{d}}=r(\alpha ^{b+2t_{d}-1})=e_{J_{1}}\alpha ^{(b+2t_{d}-1)J_{1}}+e_{J_{2}}\alpha ^{(b+2t_{d}-1)J_{2}}+\ldots +e_{J_{\nu }}\alpha ^{(b+2t_{d}-1)J_{\nu }}$

Здесь $2t_{d}=d-1$ Для нахождения множества локаторов ошибок, введем в рассмотрение многочлен локаторов ошибок

$\sigma (x)=\prod _{l=1}^{\nu }(1+\alpha ^{J_{l}}x)=1+\sigma _{1}x+\sigma _{2}x^{2}+\ldots +\sigma _{\nu }x^{\nu }$

корни которого равны обратным величинам локаторов ошибок. Тогда справедливо следующее соотношение между коэффициентами многочлена локаторов ошибок и синдромами^[5]:

     $\sigma _{1}S_{t}+\sigma _{2}S_{t-1}+\ldots +\sigma _{t}S_{1}=-S_{t+1}$ 

     $\sigma _{1}S_{t+1}+\sigma _{2}S_{t}+\ldots +\sigma _{t}S_{2}=-S_{t+2}$ 

     $\ldots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (*)$ 
 
     $\sigma _{1}S_{2t-1}+\sigma _{2}S_{2t-2}+\ldots +\sigma _{t}S_{t}=-S_{2t}$

Известны следующие методы для решения этой системы уравнений относительно коэффициентов многочлена локаторов ошибок $\sigma _{i},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;\nu$ (ключевая система уравнений).

Алгоритм Берлекемпа — Мэсси (BMA)^[⇨]. По числу операций в конечном поле этот алгоритм обладает высокой эффективностью. BMA обычно используется для программной реализации или моделирования кодов БЧХ и кодов Рида — Соломона.
Евклидов алгоритм (ЕА)^[⇨]. Из-за высокой регулярности структуры этого алгоритма его широко используют для аппаратной реализации декодеров БЧХ и кодов Рида — Соломона.
Прямое решение (алгоритм Питерсона — Горенстейна — Цирлера, ПГЦ). Исторически это первый метод декодирования, найденный Питерсоном для двоичного случая $(q=2)$ , затем Горенстейном и Цирлером для общего случая. Этот алгоритм находит коэффициенты многочлена локаторов ошибок прямым решением соответствующей системы линейных уравнений. В действительности, так как сложность этого алгоритма растет как куб минимального расстояния $d$ , прямой алгоритм может быть использован только для малых значений $d$ , однако именно этот алгоритм лучше всего проясняет алгебраическую идею процесса декодирования.

Алгоритм Берлекемпа — Мэсси

Этот алгоритм лучше всего рассматривать как итеративный процесс построения минимального регистра(сдвига) с обратной связью, генерирующего известную последовательность синдромов $S_{1},\;S_{2},\;\ldots ,\;S_{2t_{d}}$ . Его фактическая цель — построить полином $\sigma ^{i+1}(x)$ наименьшей степени, удовлетворяющему следующему уравнению $\sum _{j=0}^{l_{i}+1}S_{k-j}\sigma _{j}^{i+1}=0,\;l_{i}<k<i+1$ . Решение этого уравнения эквивалентно следующему условию $\sigma ^{i+1}(x)=1+\sigma _{1}^{i+1}x+\ldots +\sigma _{l_{i+1}}^{i+1}x^{l_{i+1}}$ . Итеративный процесс построения такого многочлена и есть Алгоритм Берлекемпа — Мэсси.

Евклидов алгоритм

В основе этого метода лежит широко известный алгоритм Евклида по нахождению наибольшего общего делителя двух чисел (НОД), только в данном случае ищем НОД не двух чисел, а двух полиномов. Обозначим полином значений ошибок как $\Lambda =\sigma (x)S(x)$ , где синдромный полином равен $S(x)=1+S_{1}x+\ldots +S_{2t_{d}}x^{2t_{d}}\quad (1)$ . Из системы уравнений (*) следует что $\Lambda (x)=\sigma (x)S(x)\mod x^{2t_{d}+1}\quad (2)$ . Задача по сути сводится к тому чтобы определить $\Lambda (x)$ удовлетворяющего (2) и при этом степени не выше $t_{d}$ . По сути такое решение и будет давать расширенный алгоритм Евклида, примененный к многочленам $r_{0}(x)=x^{d}$ и $r_{1}(x)=S(x)$ , где $d=2t_{d}+1$ . Если на $j$ -ом шаге расширенный алгоритм Евклида выдает решение $r_{j}=a_{j}(x)x^{2t_{d}+1}+b_{j}(x)S(x)$ , такое что $\deg[r_{j}(x)]\leqslant t_{d}$ , то $\Lambda (x)=r_{j}(x)$ и $\sigma _{i}(x)=b_{j}(x)$ . При этом найденный полином $a_{j}(x)$ дальше не принимает участия в декодировании(он ищется только как вспомогательный). Таким образом будет найден полином локаторов ошибок $\sigma (x)$ .

Прямое решение (алгоритм Питерсона — Горенстейна — Цирлера, ПГЦ)

Пусть БЧХ код над полем $GF(q)$ длины $n$ и с конструктивным расстоянием $d$ задается порождающим полиномом $g(x)$ , который имеет среди своих корней элементы $\beta ^{l_{0}},\;\beta ^{l_{0}+1},\;\ldots ,\;\beta ^{l_{0}+d-2}\quad \beta \in GF(q^{m}),\quad \beta ^{n}=1,\quad l_{0}$ — целое число (например 0 или 1). Тогда каждое кодовое слово обладает тем свойством, что $c(\beta ^{l_{0}-1+j})=0,\quad j=1,\;2,\;\ldots ,\;d-1$ . Принятое слово $r(x)$ можно записать как $r(x)=c(x)+e(x)$ , где $e(x)$ — полином ошибок. Пусть произошло $u\leqslant t=(d-1)/2$ ошибок на позициях $i_{1},\;i_{2},\;\ldots ,\;i_{u}$ ( $t$ максимальное число исправляемых ошибок), значит $e(x)=e_{i_{1}}x^{i_{1}}+e_{i_{2}}x^{i_{2}}+\ldots +e_{i_{u}}x^{i_{u}}$ , а $e_{i_{1}},\;e_{i_{2}},\;\ldots ,\;e_{i_{u}}$ — величины ошибок.

Можно составить $j$ -й синдром $S_{j}$ принятого слова $r(x)$ :

$S_{j}=r(\beta ^{l_{0}-1+j})=e(\beta ^{l_{0}-1+j}),\quad j=1,\;\ldots ,\;d-1.\quad \quad (1)$

Задача состоит в нахождении числа ошибок $u$ , их позиций $i_{1},\;i_{2},\;\ldots ,\;i_{u}$ и их значений $e_{i_{1}},\;e_{i_{2}},\;\ldots ,\;e_{i_{u}}$ при известных синдромах $S_{j}$ .

Предположим, для начала, что $u$ в точности равно $t$ . Запишем $(1)$ в виде системы нелинейных уравнений в явном виде:

${\begin{cases}S_{1}=e_{i_{1}}\beta ^{l_{0}i_{1}}+e_{i_{2}}\beta ^{l_{0}i_{2}}+\ldots +e_{i_{t}}\beta ^{l_{0}i_{t}}\\S_{2}=e_{i_{1}}\beta ^{(l_{0}+1)i_{1}}+e_{i_{2}}\beta ^{(l_{0}+1)i_{2}}+\ldots +e_{i_{t}}\beta ^{(l_{0}+1)i_{t}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\S_{d-1}=e_{i_{1}}\beta ^{(l_{0}+d-2)i_{1}}+e_{i_{2}}\beta ^{(l_{0}+d-2)i_{2}}+\ldots +e_{i_{t}}\beta ^{(l_{0}+d-2)i_{t}}\\\end{cases}}$

Обозначим через $X_{k}=\beta ^{i_{k}}$ локатор $k$ -ой ошибки, а через $Y_{k}=e_{i_{k}}$ величину ошибки, $k=1,\;\ldots ,\;t$ . При этом все $X_{k}$ различны, так как порядок элемента $\beta$ равен $n$ , и поэтому при известном $X_{k}$ можно определить $i_{k}$ как $i_{k}=\log _{\beta }X_{k}$ .

${\begin{cases}S_{1}=Y_{1}X_{1}^{l_{0}}+Y_{2}X_{2}^{l_{0}}+\ldots +Y_{t}X_{t}^{l_{0}}\\S_{2}=Y_{1}X_{1}^{l_{0}+1}+Y_{2}X_{2}^{l_{0}+1}+\ldots +Y_{t}X_{t}^{l_{0}+1}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\S_{d-1}=Y_{1}X_{1}^{l_{0}+d-2}+Y_{2}X_{2}^{l_{0}+d-2}+\ldots +Y_{t}X_{t}^{l_{0}+d-2}\end{cases}}$

Составим полином локаторов ошибок:

$\Lambda (x)=(1-xX_{1})(1-xX_{2})\ldots (1-xX_{t})=\Lambda _{t}x^{t}+\Lambda _{t-1}x^{t-1}+\ldots +\Lambda _{1}x+1$

Корнями этого полинома являются элементы, обратные локаторам ошибок. Помножим обе части этого полинома на $Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}$ . Полученное равенство будет справедливо для $\vartheta =l_{0},\;l_{0}+1,\;\ldots ,\;l_{0}+d-1,\quad l=1,\;\ldots ,\;t$ :

$\Lambda (x)Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}=\Lambda _{t}x^{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}+\Lambda _{t-1}x^{t-1}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}+\ldots +\Lambda _{1}xY_{l}X_{l}^{\vartheta +t}+Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}\quad (3)$

Положим $x=X_{l}^{-1}$ и подставим в $(3)$ . Получится равенство, справедливое для каждого $l\in {1,\;2,\;\ldots ,\;t}$ и при всех $\vartheta \in {l_{0},\;l_{0}+1,\;\ldots ,\;l_{0}+d-1}$ :

$0=\Lambda _{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta }+\Lambda _{t-1}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +1}+\ldots +\Lambda _{1}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t-1}+Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}$

Таким образом для каждого $l$ можно записать своё равенство. Если их просуммировать по $l$ , то получится равенство, справедливое для каждого $\vartheta \in {l_{0},\;l_{0}+1,\;\ldots ,\;l_{0}+d-1}$ :

$0=\Lambda _{t}\sum _{l=1}^{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta }+\Lambda _{t-1}\sum _{l=1}^{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +1}+\ldots +\Lambda _{1}\sum _{l=1}^{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t-1}+\sum _{l=1}^{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}$ .

.

Учитывая $(2)$ и то, что $S_{j+p}=\sum _{l=1}^{t}Y_{l}X_{l}^{l_{0}+j+p-1}=\sum _{l=1}^{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +p},\quad j=1,\;\ldots ,\;d-1,\quad \vartheta =l_{0}+j-1$ (то есть $\vartheta$ меняется в тех же пределах, что и ранее) получаем систему линейных уравнений:

${\begin{cases}S_{1}\Lambda _{t}+S_{2}\Lambda _{t-1}+\ldots +S_{t}\Lambda _{1}=-S_{t+1}\\S_{2}\Lambda _{t}+S_{3}\Lambda _{t-1}+\ldots +S_{t+1}\Lambda _{1}=-S_{t+2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (4)\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\S_{t}\Lambda _{t}+S_{t+1}\Lambda _{t-1}+\ldots +S_{2t-1}\Lambda _{1}=-S_{2t}\end{cases}}$

Или в матричной форме

$S^{(t)}{\bar {\Lambda }}^{(t)}=-{\bar {s}}^{(t)},$

где

$S^{(t)}={\left[{\begin{matrix}S_{1}&S_{2}&\ldots &S_{t}\\S_{2}&S_{3}&\ldots &S_{t+1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\\S_{t}&S_{t+1}&\ldots &S_{2t-1}\end{matrix}}\right]},\quad \quad \quad \quad \quad \quad (5)$

${\bar {\Lambda }}^{(t)}={\left[{\begin{matrix}\Lambda _{t}\\\Lambda _{t-1}\\\cdots \\\Lambda _{1}\end{matrix}}\right]},\quad \quad {\bar {s}}^{(t)}{\left[{\begin{matrix}S_{t+1}\\S_{t+2}\\\cdots \\S_{2t}\end{matrix}}\right]}$

Если число ошибок и в самом деле равно $t$ , то система $(4)$ разрешима, и можно найти значения коэффициентов $\Lambda _{1},\ldots ,\Lambda _{t}$ . Если же число $u<t$ , то определитель матрицы $S^{(t)}$ системы $(4)$ будет равен $0$ . Это есть признак того, что количество ошибок меньше $t$ . Поэтому необходимо составить систему $(4)$ , предполагая число ошибок равным $t-1$ . Высчитать определитель новой матрицы $S^{(t-1)}$ и т. д., до тех пор, пока не установим истинное число ошибок.

Поиск Ченя

После того как ключевая система уравнений $(*)$ решена, получаются коэффициенты полинома локаторов ошибок. Его корни (элементы, обратные локаторам ошибок) можно найти простым перебором по всем элементам поля $GF(q^{m})$ . К ним найти элементы, обратные по умножению, — это локаторы ошибок $X_{k},\quad k=1,\ldots ,u$ . Этот процесс легко реализовать аппаратно.

Алгоритм Форни

По локаторам можно найти позиции ошибок ( $i_{k}=\log _{\beta }X_{k}$ ), а значения $Y_{k}$ ошибок из системы $(2)$ , приняв $t=u$ . Декодирование завершено.

См. также

Примечания

↑ Сагалович, 2007, с. 175—176.
↑ Сагалович, 2007, с. 176.
↑ Сагалович, 2007, с. 168.
↑ Искусство помехоустойчивого кодирования, с. 91.
↑ Сагалович, 2007, с. 200.

Литература

Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки = Theory and Practice of Error Control Codes. — М.: Мир, 1986. — 576 с.
Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. — М.: Мир, 1976. — С. 596.
Сагалович Ю. Л. Введение в алгебраические коды — М.: МФТИ, 2007. — 262 с. — ISBN 978-5-7417-0191-1
<a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q21789631'></a><a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q22328149'></a>
Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. — М.: Техносфера, 2005. — 320 с. — ISBN 5-94836-035-0.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[_2e79cc4f5976c93c-1] Сагалович, 2007, с. 175—176.

[_9ebe22d552737e03-2] Сагалович, 2007, с. 176.

[_9ebe21d552737cba-3] Сагалович, 2007, с. 168.

[Морелос-4] Искусство помехоустойчивого кодирования, с. 91.

[_9ec82dd5527be55b-5] Сагалович, 2007, с. 200.