WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Ферма — Эйлера или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов гласит^[1]:

Любое простое число ${\displaystyle p=4n+1}$ , где ${\displaystyle n}$  — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Иначе говоря, ${\displaystyle p=4n+1,n\in \mathbb {N} \Rightarrow p=x^{2}+y^{2},}$ где ${\displaystyle p}$  — простое число.

В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

Примеры:

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.}$

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

История

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения^[2].

Доказательства

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром^[3]:

Инволюция конечного множества ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}}$ , определённая как

${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow {\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z),&x<y-z\\(2y-x,y,x-y+z),&y-z<x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&x>2y\end{cases}}}$

имеет ровно одну неподвижную точку (а именно ${\displaystyle (1,1,k)}$ , так как ${\displaystyle p=4k+1}$  — простое), так что ${\displaystyle |S|}$ нечётно и инволюция ${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow (x,z,y)}$ также имеет неподвижную точку.

Также есть доказательство через теорему Вильсона, придуманное Акселем Туэ^[4].

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
• Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант, № 3 (1999), стр. 14—22.
• Dickson L. E. History of the Theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares.

Примечания