Плоскость Фано — конечная проективная плоскость порядка 2, имеющая наименьшее возможное число точек и прямых (7 точек и 7 прямых), с тремя точками на каждой прямой и с тремя прямыми, проходящими через каждую точку. Названа по имени итальянского математика Джино Фано.
Плоскость Фано можно построить с помощью линейной алгебры как проективную плоскость над конечным полем с двумя элементами. Можно таким же образом построить проективные плоскости над любым другим конечным полем, но плоскость Фано будет наименьшей.
Используя стандартное построение проективных пространств с помощью однородных координат, семь точек плоскости Фано можно пометить семью ненулевыми тройками двоичных цифр 001, 010, 011, 100, 101, 110 и 111. Для любой пары точек p и q третья точка на прямой pq имеет метку, получающуюся из меток p и q сложением по модулю 2; например 110+011=101. Другими словами, точки плоскости Фано соответствуют ненулевым точкам конечного векторного пространства размерности 3 над конечным полем порядка 2.
Согласно этому построению плоскость Фано считается дезарговой, хотя плоскость слишком мала, чтобы содержать невырожденную конфигурацию Дезарга (требуется 10 точек и 10 прямых).
Прямым плоскости Фано можно также приписать однородные координаты, снова используя ненулевые тройки двоичных цифр. В этой системе точка инцидентна прямой, если координаты точки и координаты прямой имеют чётное число позиций, в которых обе координаты являются ненулевыми битами. Например, точка 101 принадлежит прямой 111, поскольку и прямая, и точка имеют ненулевые биты в двух общих позициях. В терминах линейной алгебры, точка принадлежит прямой, если скалярное произведение векторов, представляющих точку и прямую, равно нулю.
Прямые можно разделить на три типа.
Перестановки семи точек плоскости Фано, сохраняющих инцидентность точек (прямой), то есть когда точка, лежащая на прямой, оказывается на той же прямой, называется «коллинеацией», «автоморфизмом» или «симметрией» плоскости. Полной группой коллинеации (или группой автоморфизмов, или группой симметрии) является проективная линейная группа PGL(3,2)[1], которая в данном случае изоморфна проективной специальной линейной группе PSL(2,7) = PSL(3,2) и полной линейной группе GL(3,2) (которая равна PGL(3,2), поскольку поле имеет только один ненулевой элемент). Группа состоит из 168 различных перестановок.
Группа автоморфизмов состоит из 6 классов сопряжённости.
Все циклические структуры[en], за исключением цикла длиной 7, однозначно определяют класс сопряжённости:
48 перестановок с полным циклом длины 7 образуют два класса сопряжённости по 24 элемента в каждом:
Вследствие теоремы Редфилда — Пойи число неэквивалентных раскрасок плоскости Фано в n цветов равно:
Плоскость Фано содержит следующие различные конфигурации точек и прямых. Для каждого вида конфигурации число копий конфигурации, умноженное на число симметрий плоскости, при которой конфигурация сохраняется, равно 168, размеру всей группы симметрий.
7 точек плоскости соответствуют 7 неединичным элементам группы (Z2)3 = Z2 × Z2 × Z2. Прямые плоскости соответствуют подгруппам порядка 4, изоморфным Z2 × Z2. Группа автоморфизмов GL(3,2)[en] группы (Z2)3 является группой изоморфизмов плоскости Фано и имеет порядок 168.
Плоскость Фано является малой симметричной блок-схемой, а именно, схемой 2-(7,3,1). Точки схемы являются точками плоскости, а блоки схемы являются прямыми плоскости. Таким образом, плоскость Фано является важным примером теории блок-схем.
Плоскость Фано является одним из важных примеров в теории матроидов. Исключение плоскости Фано как минора матроида[en] необходимо для описания некоторых важных классов матроидов, таких как правильный[en], графовый[en] и кографовый матроиды.
Если разбить одну прямую на три двуточечные прямые, получим «нефанову конфигурацию», которую можно вложить в вещественную плоскость. Это другой важный пример из теории матроидов, который следует исключить, чтобы выполнялось большое число теорем.
Плоскость Фано, будучи блок-схемой, является системой троек Штайнера. А в таком случае, ей можно придать структуру квазигруппы. Эта квазигруппа совпадает с мультипликативной структурой, определённой единицами октонионов e1, e2, …, e7 (без 1) если знаки произведения октонионов игнорировать[3].
Плоскость Фано можно распространить на трёхмерный случай, чтобы образовать наименьшее трёхмерное проективное пространство, и оно обозначается PG(3,2). Оно имеет 15 точек, 35 прямых и 15 плоскостей.
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .