WikiSort.ru - Не сортированное

Поворот Гивенса — в линейной алгебре линейный оператор поворота вектора на некоторый заданный угол.

Матрица Гивенса

Поворот Гивенса вектора на плоскости определяется матрицей линейного оператора:

${\displaystyle G(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta \ -\sin \theta \\\sin \theta \ \cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

Поэтому для некоторого вектора ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$ :
${\displaystyle G(\theta )V={\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}}$

К примеру, для ${\displaystyle \theta =\pi }$ :
${\displaystyle G(\theta )V={\begin{bmatrix}-x\\-y\end{bmatrix}}}$

Использование матриц Гивенса для трёхдиагонализации

Пусть хотим привести к трёхдиагональному виду симметричную матрицу: ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1p}&\cdots &a_{1q}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{p1}&\cdots &a_{pp}&\cdots &a_{pq}&\cdots &a_{pn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{q1}&\cdots &a_{qp}&\cdots &a_{qq}&\cdots &a_{qn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{np}&\cdots &a_{nq}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$

Где ${\displaystyle a_{pq}=a_{qp}}$ . Тогда домножим её на матрицу вращения Гивенса: ${\displaystyle G'_{pq}(\theta )AG_{pq}(\theta )}$ . ${\displaystyle G}$ — транспонированная матрица. При этом изменятся только элементы ${\displaystyle a_{pp}}$ , ${\displaystyle a_{pq}}$ и ${\displaystyle a_{qq}}$

${\displaystyle a'_{pp}=c^{2}a_{pp}+2csa_{pq}+s^{2}a_{qq}}$

${\displaystyle a'_{pq}=sc(a_{qq}-a_{pp})+(c^{2}-s^{2})a_{pq}}$

${\displaystyle a'_{qq}=s^{2}a_{pp}-2csa_{pq}+c^{2}a_{qq}}$

Здесь штрих обозначает элемент возникающий после вращения. Выберем коэффициенты ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle s}$ так, чтобы обнулить недиагональный элемент и сохранить связь ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle s}$ с ${\displaystyle \cos \phi }$ и ${\displaystyle \sin \phi }$

Тогда: ${\displaystyle \phi =1/2\tan ^{-1}(2a_{pq}/(a_{pp}-a_{qq}))}$

${\displaystyle c=\cos \phi }$

${\displaystyle s=\sin \phi }$

Такое вращение применяют последовательно, чтобы обнулить все элементы первой строки, кроме двух первых. То есть (1,2), (1,3), (1,4)...(1,n) Потом ко-второй строке (2,3),(2, 4)...(2,n)

Код на C++:

for (unsigned int i=0; i<N-1; ++i) 
    {
    for (unsigned int j=i+2; j<N; ++j)               
        {
            t = 2*matr[i][j]/(matr[i][i] - matr[j][j]);
            phi = 0.5 * atan(t);
            c = cos(phi);
            s = sin(phi);
 
            bii = c*c*matr[i][i] + 2*c*s*matr[i][j] + s*s*matr[j][j];
            bij = s*c*(matr[j][j] - matr[i][i]) + matr[i][j] * (c*c - s*s);
            bjj = s*s*matr[i][i] + c*c*matr[j][j] - 2*c*s*matr[i][j];
            bji = bij;
 
            matr[i][i] = bii;
            matr[i][j] = bij;
            matr[j][i] = bji;
            matr[j][j] = bjj;
        }
    }

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.