WikiSort.ru - Не сортированное

Алгоритм

Пусть имеются линейно независимые векторы ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}}$ .

Определим оператор проекции следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {proj} _{\mathbf {b} }\,\mathbf {a} ={\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle \over \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }\mathbf {b} ,}$

где ${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }$  — скалярное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ . Этот оператор проецирует вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$ коллинеарно вектору ${\displaystyle \mathbf {b} }$ .

Ортогональность векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ достигается на шаге (2).

Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{lclr}\mathbf {b} _{1}&=&\mathbf {a} _{1}&(1)\\\mathbf {b} _{2}&=&\mathbf {a} _{2}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{2}&(2)\\\mathbf {b} _{3}&=&\mathbf {a} _{3}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{3}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{2}}\,\mathbf {a} _{3}&(3)\\\mathbf {b} _{4}&=&\mathbf {a} _{4}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{4}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{2}}\,\mathbf {a} _{4}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{3}}\,\mathbf {a} _{4}&(4)\\&\vdots &&\\\mathbf {b} _{N}&=&\mathbf {a} _{N}-\displaystyle \sum _{j=1}^{N-1}\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{j}}\,\mathbf {a} _{N}&(N)\end{array}}}$

На основе каждого вектора ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}\;(j=1\ldots N)}$ может быть получен нормированный вектор: ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}={\mathbf {b} _{j} \over \|\mathbf {b} _{j}\|}}$ (у нормированного вектора направление будет таким же, как у исходного, а длина — единичной).

Результаты процесса Грама — Шмидта:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}}$  — система ортогональных векторов либо

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{N}}$  — система ортонормированных векторов.

Вычисление ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}}$ носит название ортогонализации Грама — Шмидта, а ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{N}}$  — ортонормализации Грама — Шмидта.

Вывод алгоритма построения ортогонального базиса по линейно независимому набору векторов ${\displaystyle {\mathbf {a} _{i}}}$

Требуется построить ортогональную систему векторов ${\displaystyle \{\mathbf {b_{i}} \}_{i=0}^{n}}$ по линейно-независимому набору векторов ${\displaystyle \{\mathbf {a_{i}} \}_{i=0}^{n}}$ .

Процесс построения базиса заключается в проецировании первого вектора базиса на следующие за ${\displaystyle \mathbf {a} _{0}}$ вектора ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ и нахождения ортогональных к этим проекциям векторов ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ .

Первый вектор строящегося базиса выбираем так:

1. ${\displaystyle \mathbf {b} _{0}=\mathbf {a} _{0}}$  — так выбираем первый вектор строящегося базиса.

2. ${\displaystyle \mathbf {e} _{b_{0}}={\frac {\mathbf {b} _{0}}{\|\mathbf {b} _{0}\|}}}$  — нормируем вектор ${\displaystyle \mathbf {b_{0}} }$ .

3. ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{1}-\langle \mathbf {a_{1}} ,\mathbf {e_{b_{0}}} \rangle \cdot \mathbf {e_{b_{0}}} }$ , где ${\displaystyle \langle \mathbf {a_{1}} ,\mathbf {e_{b_{0}}} \rangle \cdot \mathbf {e_{b_{0}}} }$  — проекция вектора ${\displaystyle \mathbf {a_{1}} }$ на вектор ${\displaystyle \mathbf {e_{b_{0}}} }$ , вдоль нормированного вектора ${\displaystyle \mathbf {e_{b_{0}}} }$ .

4. ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}=\mathbf {a} _{2}-\langle \mathbf {a} _{2},\mathbf {e_{b_{0}}} \rangle \cdot \mathbf {e_{b_{0}}} -\langle \mathbf {a} _{2},\mathbf {e_{b_{1}}} \rangle \cdot \mathbf {e_{b_{1}}} .}$

5. ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{i}-\sum \limits _{k=0}^{i-1}\langle \mathbf {a} _{i},\mathbf {e_{b_{k}}} \rangle \cdot \mathbf {e_{b_{k}}} }$  — в общем виде.

Заметим что:

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {e_{b}} \rangle \cdot \mathbf {e_{b}} =\left\langle \mathbf {a} ,{\frac {\mathbf {b} }{\|\mathbf {b} \|}}\right\rangle \cdot {\frac {\mathbf {b} }{\|\mathbf {b} \|}}={\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\|\mathbf {b} \|^{2}}}\cdot \mathbf {b} .}$

А так как норма (длина вектора) ${\displaystyle \|\mathbf {b} \|}$ в линейном пространстве ${\displaystyle \mathbf {B} }$ порождается скалярным произведением, ${\displaystyle \|\mathbf {b} \|={\sqrt {\langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }},\quad \mathbf {b} \in \mathbf {B} ,}$
получаем:

${\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\|\mathbf {b} \|^{2}}}\cdot \mathbf {b} ={\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}\cdot \mathbf {b} .}$

И получаем окончательный вид:

Первый вектор строящегося базиса определяется как:

1. ${\displaystyle \mathbf {b} _{0}=\mathbf {a} _{0}}$  — первый вектор с индексом ${\displaystyle i=0}$ .

2. ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{i}-\sum \limits _{k=0}^{i-1}{\frac {\langle \mathbf {a} _{i},\mathbf {b} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {b} _{k},\mathbf {b} _{k}\rangle }}\cdot \mathbf {b} _{k}}$  — все остальные векторы с индексами: ${\displaystyle i=1\ldots N-1}$ .

Доказательство

Докажем ортогональность векторов ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}}$ .

Для этого вычислим скалярное произведение ${\displaystyle \langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2}\rangle }$ , подставив в него формулу (2). Мы получим ноль. Равенство нулю скалярного произведения векторов означает, что эти векторы ортогональны. Затем вычислим скалярное произведение ${\displaystyle \langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{3}\rangle }$ , используя результат для ${\displaystyle \langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2}\rangle }$ и формулу (3). Мы снова получим ноль, то есть векторы ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ ортогональны. Общее доказательство выполняется методом математической индукции.

Геометрическая интерпретация — вариант 1

Рассмотрим формулу (2) — второй шаг алгоритма. Её геометрическое представление изображено на рис. 1:

1 — получение проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ на ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ;

2 — вычисление ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\mathbf {a} _{2}}$ , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование конца ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ на ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (2) вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ ;

3 — перемещение полученного на шаге 2 вектора ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (2).

На рисунке видно, что вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ ортогонален вектору ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ , так как ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ является перпендикуляром, по которому ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ проецируется на ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ .

Рассмотрим формулу (3) — третий шаг алгоритма — в следующем варианте:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}\mathbf {b} _{3}=\mathbf {a} _{3}-(\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\mathbf {a} _{3}+\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{2}}\mathbf {a} _{3})&&(6)\\\end{array}}}$

Её геометрическое представление изображено на рис. 2:

1 — получение проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ на ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ;

2 — получение проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ на ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ ;

3 — вычисление суммы ${\displaystyle \mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\mathbf {a} _{3}+\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{2}}\mathbf {a} _{3}}$ , то есть проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ на плоскость, образуемую векторами ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ . Эта плоскость закрашена на рисунке серым цветом;

4 — вычисление ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}-(\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\mathbf {a} _{3}+\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{2}}\mathbf {a} _{3})}$ , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование конца ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ на плоскость, образуемую векторами ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (6) вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ ;

5 — перемещение полученного ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (6).

На рисунке видно, что вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ ортогонален векторам ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ , так как ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ является перпендикуляром, по которому ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ проецируется на плоскость, образуемую векторами ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ .

Таким образом, в процессе Грама — Шмидта для вычисления ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ выполняется проецирование ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}}$ ортогонально на гиперплоскость, формируемую векторами ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{j-1}}$ . Вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ затем вычисляется как разность между ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}}$ и его проекцией. То есть ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$  — это перпендикуляр от конца ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}}$ к гиперплоскости, формируемой векторами ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{j-1}}$ . Поэтому ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ ортогонален векторам, образующим эту гиперплоскость.

Геометрическая интерпретация — вариант 2

Рассмотрим проекции некоторого вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на векторы ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ как компоненты вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ в направлениях ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ (рис. 3):

Если удалить из ${\displaystyle \mathbf {a} }$ компоненту в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ , то ${\displaystyle \mathbf {a} }$ станет ортогонален ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ (рис. 4):

Если из ${\displaystyle \mathbf {a} }$ удалить компоненты в направлениях ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ , то ${\displaystyle \mathbf {a} }$ станет ортогонален и ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ , и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ (рис. 5):

В формуле (2) из вектора ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ удаляется компонента в направлении вектора ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ . Получаемый вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ не содержит компоненту в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и поэтому ортогонален вектору ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ .

В формуле (3) из вектора ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ удаляются компоненты в направлениях ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ (формуле 3 соответствует переход от рис. 3 к рис. 5; рис. 4 не соответствует формуле 3). Получаемый вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ ортогонален векторам ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ .

В формуле (4) из вектора ${\displaystyle \mathbf {a} _{N}}$ удаляются компоненты в направлениях ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N-1}}$ . Получаемый вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{N}}$ ортогонален векторам ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N-1}}$ .

Таким образом, по формулам (1) — (4) на основе векторов ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}}$ получается набор ортогональных векторов ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}}$ .

Численная неустойчивость

При вычислении на ЭВМ по формулам (1) — (5) векторы ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N-1}}$ часто не точно ортогональны из-за ошибок округления. Из-за потери ортогональности в процессе вычислений классический процесс Грама — Шмидта называют численно неустойчивым.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим получение ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ по формулам (8) — (11):

${\displaystyle {\begin{array}{lllllr}\mathbf {a} _{3}^{(1)}&=&\mathbf {a} _{3}&-&\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{3}&(12)\\\mathbf {b} _{3}&=&\mathbf {a} _{3}^{(1)}&-&\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{2}}\,\mathbf {a} _{3}^{(1)}&(13)\\\end{array}}}$

Геометрически это показано на рис 6:

На рис. 6 вектор ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}^{(1)}}$ обозначен как ${\displaystyle \mathbf {R} }$ .

1 — получение проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ на ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ для формулы (12), то есть компоненты ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ;

2 — вычитание по формуле (12), то есть удаление из ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ компоненты в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ . Получаемый вектор ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ортогонален ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ , так как не имеет компоненты в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ;

3 — перенос вектора ${\displaystyle \mathbf {R} }$ в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (12).

4 — получение проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {R} }$ на ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ для формулы (13), то есть компоненты ${\displaystyle \mathbf {R} }$ в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ ;

5 — вычитание по формуле (13), то есть удаление из ${\displaystyle \mathbf {R} }$ компоненты в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ . Получаемый вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ ортогонален ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ , так как не имеет компоненты в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ . При вычитании из ${\displaystyle \mathbf {R} }$ компоненты в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ в результирующем векторе ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ не появляется компонента в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ;

6 — перенос вектора ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (13).

Таким образом, получаемый на рис. 6 вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ не имеет компонент в направлениях ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ и поэтому ортогонален ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ .

Рассмотрим непосредственно формулы (8) — (11).

В формуле (8) из вектора ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}}$ удаляется компонента в направлении вектора ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ . Получаемый вектор ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}^{(1)}}$ не содержит компоненту в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ и поэтому ортогонален вектору ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ .

Далее в формуле (9) из результата удаляется его компонента в направлении вектора ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ . Получаемый вектор ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}^{(2)}}$ не содержит компоненту в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ и поэтому ортогонален вектору ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ .

Путём дальнейшего последовательного удаления из результата его компонент получается вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ , не содержащий компонент в направлениях ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{j-1}}$ и потому ортогональный векторам ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{j-1}}$ .

Эквивалентность классического и модифицированного процессов

Классический и модифицированный процессы можно сопоставить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\mathbf {b} _{j}\\\\\mathbf {b} _{j}\end{array}}{\begin{array}{c}=\\\\=\end{array}}\underbrace {\underbrace {\underbrace {{\begin{array}{c}\mathbf {a} _{j}\\\\\mathbf {a} _{j}\end{array}}{\begin{array}{c}-\\\\-\end{array}}{\begin{array}{c}\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{j}\\||\\\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{j}\end{array}}} _{\mathbf {a} _{j}^{(1)}}{\begin{array}{c}-\\\\-\end{array}}{\begin{array}{c}\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{2}}\,\mathbf {a} _{j}\\||\\\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{2}}\,\mathbf {a} _{j}^{(1)}\end{array}}} _{\mathbf {a} _{j}^{(2)}}{\begin{array}{c}-\\\\-\end{array}}{\begin{array}{c}\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{3}}\,\mathbf {a} _{j}\\||\\\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{3}}\,\mathbf {a} _{j}^{(2)}\end{array}}} _{\mathbf {a} _{j}^{(3)}}{\begin{array}{ccc}-&\ldots &-\\\\-&\ldots &-\end{array}}{\begin{array}{cc}\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{j-1}}\,\mathbf {a} _{j}&(14)\\||&\\\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{j-1}}\,\mathbf {a} _{j}^{(j-2)}&(15)\end{array}}}$

Формула (14) показывает вычисление ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ в классическом процессе, а формула (15) — в модифицированном.

Разница между (14) и (15) заключается в том, от каких векторов вычисляются компоненты: от ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}}$ в классическом процессе или от результата предыдущего вычитания, то есть от ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}^{(k)}}$ в модифицированном процессе. ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}^{(k)}}$ представляет собой ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}}$ , из которого удалены компоненты в направлениях ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\,\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{k}}$ . Компонента вектора ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}}$ в направлении ${\displaystyle \mathbf {b} _{k+1}}$ при этом удалении не затрагивается и поэтому она в ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}^{(k)}}$ такая же, как в ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}}$ . Другими словами,

${\displaystyle \mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{k+1}}\,\mathbf {a} _{j}^{(k)}=\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{k+1}}\,\mathbf {a} _{j}(16)}$

На рис. 6 равенство (16) имеет форму «${\displaystyle \mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{2}}\,\mathbf {R} =\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{2}}\,\mathbf {a} _{3}}$ ».

Равенство (16) отображено знаками "||" между формулами (14) и (15). Это позволяет видеть, что формулы (14) и (15) эквивалентны. Таким образом, классический и модифицированный процессы эквивалентны, но только при идеально точных вычислениях. Реальные вычисления имеют погрешность из-за ошибок округления.

Реализация для пакета Mathematica

Данный скрипт, предназначенный для пакета Mathematica, проводит процесс ортогонализации Грама ― Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках последней строки. Количество векторов и их координат могут быть произвольными. В данном случае для примера взяты векторы ${\displaystyle \{-2,\;1,\;0\}}$ , ${\displaystyle \{-2,\;0,\;1\}}$ , ${\displaystyle \{-0{.}5,\;-1,\;1\}}$ .

Projection[v1_, v2_] := (v1.v2*v2)/v2.v2
MultipleProjection[v1_, vecs_] := Plus @@ (Projection[v1, #1] &) /@ vecs
GramSchmidt[mat_] := Fold[Join[#1, {#2 - MultipleProjection[#2, #1]}] &, {}, mat]
GramSchmidt[{{-2, 1, 0}, {-2, 0, 1}, {-0.5, -1, 1}}]

Реализация для получения ортонормированной системы векторов:

Projection[v1_, v2_] := (v1.v2*v2)/v2.v2
MultipleProjection[v1_, vecs_] := Plus @@ (Projection[v1, #1] &) /@ vecs
GramSchmidt[mat_] := Fold[Join[#1, {Normalize[#2 - MultipleProjection[#2, #1]]}] &, {}, mat]
GramSchmidt[{{-2, 1, 0}, {-2, 0, 1}, {-0.5, -1, 1}}]

Реализация для Maxima

Данный скрипт, предназначенный для пакета Maxima, проводит процесс ортогонализации Грама ― Шмидта над векторами, заданными в квадратных скобках. Количество векторов и их координат могут быть произвольными. В данном случае для примера взяты векторы ${\displaystyle [-2,1,0]}$ , ${\displaystyle [-2,0,1]}$ , ${\displaystyle [-0.5,-1,1]}$ .

load(eigen);
x: matrix ([-2,1,0],[-2,0,1],[-0.5,-1,1]);
y: gramschmidt(x);