WikiSort.ru - Не сортированное

Гиперболичность в смысле Громова или ${\displaystyle \delta }$ -гиперболичность — глобальная характеристика метрического геодезического пространства, грубо говоря, напоминающая отрицательность кривизны; в частности пространство Лобачевского гиперболично в смысле Громова.

Для положительного числа ${\displaystyle \delta }$ пространство является ${\displaystyle \delta }$ -гиперболическим, если все геодезические треугольники ${\displaystyle \delta }$ -тонкие это означает — одна сторона любого треугольника не может отойти от объединения двух остальных сторон на расстояние больше, чем ${\displaystyle \delta }$ .

Гиперболичность в смысле Громова в основном применяется в геометрической теории групп. Она даёт удобную геометрическую интерпретацию для групп малого сокращения (англ.).

Определение

Есть много эквивалентных определений этого свойства (иногда отличающихся изменением ${\displaystyle \delta }$ в константу раз); наиболее простое — для любых точек x, y, z пространства отрезок геодезической [xy] лежит в ${\displaystyle \delta }$ -окрестности объединения [xz] и [yz]. Иными словами — на отрезке [xy] найдётся точка t такая, что [xt] лежит в ${\displaystyle \delta }$ -окрестности [xz], а [ty] лежит в ${\displaystyle \delta }$ -окрестности [zy].

Эквивалентно, гиперболичность в смысле Громова можно определить, потребовав, чтобы для любых точек ${\displaystyle x,y,z\in X}$ выполнялось

${\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta ,}$

где ${\displaystyle (x,y)_{p}}$ обозначает произведение Громова:

${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}.}$

Свойства

• Гиперболичность является инвариантом квазиизометричных преобразований. Благодаря этому, гиперболичность группы не зависит от выбора системы образующих, использованной для задания словарной метрики.
• Если пространство содержит изометричную копию ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , оно не может быть гиперболичным. В частности, декартово произведение почти никогда^{[прояснить]} не может быть гиперболическим.

Примеры

• Любое компактное пространство гиперболично.
• Любое дерево является 0-гиперболическим пространством.
• Плоскость Лобачевского гиперболична в смысле Громова.

Ссылки

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

• П. де ля Арп, Э. Гис, Гиперболические группы по Михаилу Громову

(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov)

• Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

В этой статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Утверждения, не подкреплённые источниками, могут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.