WikiSort.ru - Не сортированное

Свя́зное двоето́чие, или двоеточие Александрова, — конечное топологическое пространство из двух точек определённого типа, наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.

Определение

Связным двоеточием называется топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов ${\displaystyle \circ }$ («открыто») и ${\displaystyle \bullet }$ («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:

1. ${\displaystyle \varnothing }$  — пустое множество;
2. ${\displaystyle \{\circ \}}$  — множество из одного элемента «открыто»;
3. ${\displaystyle \{\circ ,\bullet \}}$  — всё пространство.

Описание

Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только ${\displaystyle \{\circ \}}$ , а замкнутым — только ${\displaystyle \{\bullet \}}$ . Мы видим, что точка ${\displaystyle \bullet }$ не имеет окрестностей, кроме всего пространства, следовательно, пространство нарушает аксиому T1, в частности, не является хаусдорфовым. Также мы видим, что точка ${\displaystyle \circ }$ не является замкнутым подмножеством.

Свойства

• Отображение ${\displaystyle F}$ из топологического пространства ${\displaystyle X}$ в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз ${\displaystyle F^{-1}(\circ )}$ точки ${\displaystyle \{\circ \}}$ открыт в ${\displaystyle X}$ (или, что то же самое, прообраз ${\displaystyle F^{-1}(\bullet )}$ точки ${\displaystyle \{\bullet \}}$ замкнут в ${\displaystyle X}$ ). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия.
• Связное двоеточие является связным и также линейно связным пространством.
• Александровский куб ${\displaystyle F^{m}}$ , где ${\displaystyle F}$ — связное двоеточие, является универсальным пространством для ${\displaystyle T_{0}}$ -пространств веса ${\displaystyle m}$ при ${\displaystyle m\geq \aleph _{0}}$ , т.е. любое ${\displaystyle T_{0}}$ — пространство веса ${\displaystyle m}$ гомеоморфно подпространству пространства ${\displaystyle F^{m}}$ .

Литература

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — ISBN 5-354-00822-0.

Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.