Булеан (степень множества, показательное множество, множество частей) — множество всех подмножеств данного множества , обозначается или (так как оно соответствует множеству отображений из в ).
Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (то есть инъективность операции для кардиналов) является независимым от ZFC.
В категории множеств можно снабдить функцию структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом:
Открытая математическая проблема: cуществуют ли такие бесконечные множества и , что мощность множества меньше мощности множества и мощность множества меньше мощности множества всех подмножеств множества : ?[1]
Справедливо следующее утверждение: число подмножеств конечного множества, состоящего из элементов, равно . Результат доказывается методом математической индукции. В базе, у пустого множества ( ) только одно подмножество — оно само, и . На шаге индукции утверждение считается установленным для множеств мощности и рассматривается произвольное множество с кардинальным числом ; зафиксировав некоторый элемент , подмножества множества разделяются на два семейства:
Подмножеств второго типа по предположению индукции , подмножеств первого типа ровно столько же, так как подмножество такого типа получается из некоторого и притом единственного подмножества второго типа добавлением элемента и, следовательно:
По индукционному предположению и , то есть:
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .