WikiSort.ru - Не сортированное

Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

Теорема Гамильтона — Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если ${\displaystyle \ A}$ — квадратная матрица и ${\displaystyle \ c(\lambda )}$ её характеристический многочлен, то ${\displaystyle \ c(A)=0}$ .

Непосредственная проверка оправдывает это утверждение для матрицы порядка 2:

Характеристический многочлен

${\displaystyle c(\lambda )=\det(A-\lambda E)={\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}\\a_{21}&a_{22}-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-(a_{11}+a_{22})\lambda +(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}),}$

тогда

${\displaystyle c(A)=A^{2}-(a_{11}+a_{22})A+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})E=}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}-(a_{11}+a_{22}){\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}){\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=0.}$

• Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.
• Теорема Гамильтона — Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен.

Обобщения теоремы Гамильтона - Кэли

• Пусть ${\displaystyle p_{A}(\lambda )}$ - характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle A}$ , а матрица ${\displaystyle X}$ коммутирует с ${\displaystyle A}$ . Тогда ${\displaystyle p_{A}(X)=M(A-X)}$ , где ${\displaystyle M}$ - некоторая матрица, коммутирующая с ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle X}$ ^[1].
• Если в характеристическом многочлене ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{m})}$ заменить ${\displaystyle x^{z}}$ на ${\displaystyle A^{z}}$ , то получим нулевую матрицу^[2].

См. также

• Матрица (математика)
• Функции от матриц
• Минимальный многочлен матрицы
• Характеристический многочлен матрицы
• Аннулирующий многочлен
• λ-матрицы

Примечания

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966.
• Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.