WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена ${\displaystyle P(x)}$ на двучлен ${\displaystyle (x-a)}$ равен ${\displaystyle P(a)}$ .

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен ${\displaystyle P(x)}$ на двучлен ${\displaystyle x-a}$ :

${\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R(x),}$

где ${\displaystyle R(x)}$  — остаток. Так как ${\displaystyle \deg R(x)<\deg(x-a)=1}$ , то ${\displaystyle R(x)}$  — многочлен степени не выше 0, то есть константа. Подставляя ${\displaystyle x=a}$ , поскольку ${\displaystyle (a-a)Q(a)=0}$ , имеем ${\displaystyle P(a)=R(a)}$ .

Следствия

• Число ${\displaystyle a}$ является корнем многочлена ${\displaystyle p(x)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle p(x)}$ делится без остатка на двучлен ${\displaystyle x-a}$ (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена ${\displaystyle P(x)}$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения ${\displaystyle P(x)=0}$ ).
• Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
• Пусть ${\displaystyle a}$  — целый корень приведённого многочлена ${\displaystyle A(x)}$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого ${\displaystyle k}$ число ${\displaystyle A(k)}$ делится на ${\displaystyle a-k}$ .

Приложения

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

См. также

• Основная теорема алгебры

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.