WikiSort.ru - Не сортированное

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Часто в определение трапеции добавляют условие, что две другие стороны должны быть не параллельны^[1]. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны^[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения

Элементы трапеции

• Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Общие свойства

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
• (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен ${\displaystyle {\frac {2xy}{x+y}}}$ среднему гармоническому длин оснований трапеции (формула Буракова).
• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
• Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
• Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, подобные.
• Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.
• Если отношение оснований равно ${\displaystyle K}$ , то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно ${\displaystyle K^{2}}$ .
• Высота трапеции определяется формулой:

${\displaystyle h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}}$

где ${\displaystyle b}$  — большее основание, ${\displaystyle a}$  — меньшее основание, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$  — боковые стороны.

• Диагонали трапеции ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ связаны со сторонами соотношением:

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}}$

Их можно выразить в явном виде:

${\displaystyle d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}$

${\displaystyle d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}$

Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}}$

${\displaystyle b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}}$

а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}$

${\displaystyle d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}$

Если же известна высота ${\displaystyle h}$ , то

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}$

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

• прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
• высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
• углы при любом основании равны;
• сумма противоположных углов равна 180°;
• длины диагоналей равны;
• вокруг этой трапеции можно описать окружность;
• вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

• если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 6 июля 2015 года.

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
• В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
• Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
• Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:^{[источник не указан 1320 дней]}

${\displaystyle R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4-\left({\frac {b-a}{c}}\right)^{2}}}}}$

где ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c}$  — боковая сторона, ${\displaystyle b}$  — бо́льшее основание, ${\displaystyle a}$  — меньшее основание, ${\displaystyle d_{1}=d_{2}}$  — диагонали равнобедренной трапеции.

• Если ${\displaystyle a+b=2c}$ , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса

${\displaystyle r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}}$

• Если в трапецию вписана окружность с радиусом ${\displaystyle r}$ , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle w}$  — то ${\displaystyle r={\sqrt {vw}}}$ .

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• В случае, если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$  — основания и ${\displaystyle h}$  — высота, формула площади:

${\displaystyle S={\frac {(a+b)}{2}}h}$

• В случае, если ${\displaystyle m}$  — средняя линия и ${\displaystyle h}$  — высота, формула площади:

${\displaystyle S=\displaystyle mh}$

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

${\displaystyle m={\frac {(a+b)}{2}}}$

• Формула, где ${\displaystyle a<b}$  — основания, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$  — боковые стороны трапеции:

${\displaystyle S={\frac {a+b}{4(b-a)}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}$

или

${\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}}$

• Средняя линия ${\displaystyle m}$ разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как^[7]

${\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3a+b}{a+3b}}}$

• Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным ${\displaystyle r}$ , и углом при основании ${\displaystyle \alpha }$ :

${\displaystyle S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}}$

• Площадь равнобедренной трапеции:

${\displaystyle S=(b-c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }}$

где ${\displaystyle c}$  — боковая сторона, ${\displaystyle b}$  — бо́льшее основание, ${\displaystyle a}$  — меньшее основание, ${\displaystyle \gamma }$  — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной^[8].

• Площадь равнобедренной трапеции через её стороны

${\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(b-a)^{2}}}}$

	трапеция в Викисловаре
	Трапеция на Викискладе

Примечания