WikiSort.ru - Не сортированное

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e и ${\displaystyle e^{\pi }}$ — π
Система счисления	Оценка числа Φ
Десятичная	1.6180339887498948482…
Двоичная	1.1001111000110111011…
Шестнадцатеричная	1.9E3779B97F4A7C15F39…
Шестидесятеричная	1; 37 04 55 20 29 39 …
Рациональные приближения	3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; … ${\displaystyle F_{n+1}/F_{n}}$ , где ${\displaystyle F_{n}}$  — числа Фибоначчи (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}$

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — соотношение двух величин b и a, a > b, когда справедливо a/b = (a+b)/a. Число, равное отношению a/b, обычно обозначается прописной греческой буквой ${\displaystyle \Phi }$ , в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия^[2], реже — греческой буквой ${\displaystyle \tau }$ . Из исходного равенства (например, представляя a или даже a/b независимой переменной и решая выводимое из исходного равенства квадратное уравнение) нетрудно получить, что число

${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Обратное число, обозначаемое строчной буквой ${\displaystyle \varphi }$ ^[2],

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle \varphi =\Phi -1}$ .

Для практических целей ограничиваются приблизительным значением ${\displaystyle \Phi }$ = 1,618 или ${\displaystyle \Phi }$ = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

Исторически изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на две части (меньший отрезок АС и больший отрезок ВС), чтобы для длин отрезков было верно AC/BC = BC/AВ. Говоря простыми словами, золотым сечением отрезок рассечён на две неравные части так, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему отрезку. Позже это понятие было распространено на произвольные величины.

Число ${\displaystyle \Phi }$ называется также золотым числом.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства^[3][4][5].

История

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, усматривал в этом отношении «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа^[6].

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввел в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке^[7] или относят появление этого термина к XVI веку^[8], самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика»^[9], в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (нем. goldener Schnitt). Из текста примечания Ома следует, что Ом не придумал этот термин сам^[10][11], хотя некоторые авторы утверждают обратное^[12]. Тем не менее, исходя из того, что Ом не употребляет этот термин в первом издании своей книги^[13], Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века.^[14] Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года.^[15] В любом случае, этот термин стал распространён в немецкой математической литературе после Ома.^[16]

Математические свойства

• ${\displaystyle \Phi }$  — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$ , откуда, в частности, следуют соотношения:

  ${\displaystyle \Phi ^{2}-\Phi =1,}$

  ${\displaystyle \Phi \cdot (\Phi -1)=1.}$

• ${\displaystyle \Phi }$  — представляется через тригонометрические функции:
  • ${\displaystyle \Phi =2\cos {\frac {\pi }{5}}=2\cos 36^{\circ }.}$
  • ${\displaystyle \Phi =2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.}$

• При делении пополам угла между диагональю и меньшей стороной прямоугольника с отношением сторон 1:2 по формуле тангенса половинного угла получаем соотношение

${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}=\varphi =\operatorname {tg} \left({\frac {\operatorname {arctg} (2)}{2}}\right)={\frac {2}{1+{\sqrt {1+2^{2}}}}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}$

• ${\displaystyle \Phi }$ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

  ${\displaystyle \Phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dots }}}}}}}}.}$

• ${\displaystyle \Phi \;}$ представляется в виде бесконечной цепной дроби

  ${\displaystyle \Phi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}},}$

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи ${\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$ . Таким образом,

• ${\displaystyle \Phi =\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}.}$

• Мера иррациональности ${\displaystyle \Phi }$ равна 2.

• Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон ${\displaystyle \Phi =a/b}$ , что и у исходного прямоугольника ${\displaystyle \Phi =(a+b)/a}$ .

• В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны ${\displaystyle \Phi }$ . Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно ${\displaystyle \Phi }$ .

• Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка ${\displaystyle AB}$ можно построить следующим образом: в точке ${\displaystyle B}$ восстанавливают перпендикуляр к ${\displaystyle AB}$ , откладывают на нём отрезок ${\displaystyle BC}$ , равный половине ${\displaystyle AB}$ , на отрезке ${\displaystyle AC}$ откладывают отрезок ${\displaystyle CD}$ , равный ${\displaystyle BC}$ , и наконец, на отрезке ${\displaystyle AB}$ откладывают отрезок ${\displaystyle AE}$ , равный ${\displaystyle AD}$ . Тогда

${\displaystyle \Phi ={\frac {|AB|}{|AE|}}={\frac {|AE|}{|BE|}}.}$

• Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — начертить сначала квадрат ABCD со стороной 1. После этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что AE=DE=1/2. От точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора ВE=СE=${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}}$ . Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до момента её пересечения с продолжением стороны АD (точкой пересечения дуги и продолжения стороны АD пусть будет точка Н). Как радиусы круга BE=СЕ=ЕН. Так как АН=АЕ+ЕН, результатом будет отрезок АН длиной ${\displaystyle \Phi }$ . Так как DH=EH-ED, другим результатом будет отрезок DH длиной ${\displaystyle \varphi }$ ^[17].

• Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
• Значения дроби после запятой для ${\displaystyle \Phi }$ , ${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}}$ и ${\displaystyle \Phi ^{2}}$ в любой системе счисления будут равны^[18].
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=2\ln ^{2}\varphi }$

Тогда как ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}}$ ^{[источник не указан 1120 дней]}

Золотое сечение в науке

Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь, приведенная на рисунке имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами) Ф·r.

Существуют колебательные системы, физические характеристики которых (отношения частот, амплитуд и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков, соединенных последовательно пружинами одинаковой жесткости (см. рисунок).

Полностью эти две задачи рассматриваются в книге «В поисках пятого порядка», глава «Две простые задачки»^[19]. Более сложные примеры на механические колебания и их обобщения рассматриваются в этой же книге, в главе «Обобщения одной простой задачи по механике». В книге приведено много примеров проявления и применения золотого сечения в различных областях наук — небесной механике, физике, геофизике, биофизике, физической химии, биологии, физиологии.

Золотое сечение сильно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трехмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр. Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках из Бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию^[20]. Молекула воды, у которой угол расхождения связей Н-О равен 104.7⁰ , то есть близок к 108 градусам (угол в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так в разреженной плазме был обнаружен Н⁺(Н₂0)₂₁, который представляет из себя ион Н₃0⁺, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра^[21]. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра^[22]. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединенных в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды^[23].

Золотое сечение и гармония в искусстве

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

• Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.
• Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 4:3 или 16:9) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми»^{[источник не указан 3488 дней]}.
• Следует отметить, что сама пропорция является, скорее, эталонным значением, матрицей, отклонения от которой у биологических видов, возможно, вызваны приспособлением к окружающей среде в процессе жизни. Примером таких «отклонений» может служить морская камбала.

Золотое сечение в биологии и медицине

Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры или параметры биоритмов^{[25][неавторитетный источник?]} и др.

См. также

• Золотая спираль
• Пифагорейский пентакл
• Фибоначчиева система счисления
• Правило третей
• Метод золотого сечения
• Сверхзолотое сечение
• Золотой угол
• Числа Фибоначчи

Примечания

Литература

• Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
• Бендукидзе А. Д. Золотое сечение «Квант» № 8, 1973
• Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
• Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С.725-732.
• Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С.156-192.
• Мазель, Л.А. Опыт исследования золотого сечения в музыкальных построениях в свете общего анализа форм // Музыкальное образование. – 1930. – № 2. – С. 24-33.
• Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.
• Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
• Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number. — Crown/Archetype, 2008. — 303 с. — ISBN 9780307485526. Русский перевод в

Марио Ливио. φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания. — Litres, 2015-04-17. — 481 с. — ISBN 9785457762732.

• Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Corporation, 2013. — 228 с. — ISBN 9780486152325.

Ссылки

	Золотое сечение на Викискладе

• В. С. Белнин, «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа»
• А. В. Радзюкевич, К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве.
• А. В. Радзюкевич, Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечнения».
• Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Golden ratio (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
• Функция Фибоначчи в Wolfram alpha