WikiSort.ru - Не сортированное

В квантовой механике, частица в одномерном периодическом потенциале — это идеализированная задача, которая может быть решена точно (при некоторых специального вида потенциалах), без упрощений. Предполагается, что потенциал бесконечен и периодичен, то есть обладает трансляционной симметрией, что, вообще говоря, не выполняется для реальных кристаллов, и всегда существует как минимум один дефект — поверхность (это приводит к другой задаче о поверхностных состояниях или таммовских уровнях).

Общий вид спектра

Периодическая задача

Рассмотрим одномерную решётку ионов, расстояние между которыми ${\displaystyle a}$ . Потенциал при этом будет периодическим. Рассмотрим сначала идеализированный случай бесконечного кристалла. Уравнение Шрёдингера имеет вид:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi (x)}{\partial x^{2}}}+V_{a}(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

с периодическим потенциалом ${\displaystyle V_{a}(x)=V_{a}(x+a).}$ Спектр определяется как множество тех энергий, при которых уравнение имеет решения, ограниченные (не стремящиеся к нулю или бесконечности) на всей вещественной оси. Уравнение Шрёдингера имеет второй порядок, соответственно пространство решений является двумерным. Пусть ${\displaystyle \psi _{1,2}}$  — линейно независимые решения уравнения. Тогда при сдвиге на период, в силу периодичности задачи, они преобразуются через друг друга:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\psi _{1}(x+a)\\\psi _{2}(x+a)\end{matrix}}\right)=\mathrm {T} \left({\begin{matrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\end{matrix}}\right)}$

где ${\displaystyle \mathrm {T} }$  — некоторая матрица (матрица монодромии). Рассматривая вронскиан, несложно показать, что ${\displaystyle \mathrm {T} }$ унитарна и ${\displaystyle \det \mathrm {T} =1}$ . Отсюда следует, что в некотором базисе она имеет вид

${\displaystyle \mathrm {T} =\left({\begin{matrix}e^{\mathrm {i} ka}&0\\0&e^{-\mathrm {i} ka}\end{matrix}}\right)}$

Отсюда следует теорема Блоха: соответствующие собственные функции имеют вид

${\displaystyle \psi _{1,2}(x)=e^{\mathrm {i} kx}\phi _{1,2}(x),}$

где ${\displaystyle \phi _{1,2}(x)}$  — периодические функции. Заметим, что пока что ${\displaystyle k\in \mathbb {C} }$ . Очевидно, что спектру соответствуют ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ , что равносильно (с учётом унитарности) условию на след матрицы монодромии

${\displaystyle \mathrm {Tr} \ \mathrm {T} =2\cos(kx)\in [-2;2]}$

Несложно показать, что ${\displaystyle \mathrm {Tr} (\mathrm {T} )(E)}$ есть гладкая функция. Отсюда следует зонная структура спектра: для частицы в периодическом потенциале допустимые уровни энергии — это некоторое, обычно бесконечное, множество отрезков на вещественной оси. Для потенциала общего вида спектр не имеет изолированных точек, при малом шевелении потенциала они либо исчезают, либо превращаются в зоны малой ширины. Заметим, что крайние отрезки спектра в принципе могут быть неограничены, при этом все уровни энергии, начиная с некоторого, являются допустимыми, а полное число зон конечно (см. конечнозонное интегрирование). В подобной постановке задача допускает полное и простое решение в тэта-функциях.

k называют квазиимпульсом, по аналогии с волновой функцией ${\displaystyle e^{\mathrm {i} kx}}$ для частицы с определённым импульсом k. Как видно, вся волновая функция определяется величиной k и любым участком функции длиной a.

Аналогично возникают энергетические зоны в решётках более высоких размерностей.

Модель Кронига — Пенни

Для упрощения задачи потенциал приближают прямоугольным:

Используя теорему Блоха мы найдём волновую функцию во всём пространстве, но сначала надо найти решение для одного периода, и сделать его гладким на краях, то есть «сшить» значения соседних функций и их производных. Рассмотрим один период потенциала:
У нас есть две независимых области для которых мы найдём решения:

${\displaystyle 0<x<a-b:{-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=E\psi }$

${\displaystyle \Rightarrow \psi =Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}\quad \left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)}$

${\displaystyle -b<x<0:{-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=(E+V_{0})\psi }$

${\displaystyle \Rightarrow \psi =Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}\quad \left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right)}$

Для нахождения u(x) в каждой области нужно проделать следующие преобразования:

${\displaystyle \psi (0<x<a-b)=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\cdot \left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow u(0<x<a-b)=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}}$

Аналогично получим

${\displaystyle u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}\;}$

Чтобы найти полное решение нам надо убедиться в гладкости искомой функции на границах:

${\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\quad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+})}$

и периодичности u(x) и u'(x)

${\displaystyle u(-b)=u(a-b)\quad u'(-b)=u'(a-b).}$

Эти условия дают следующую матрицу:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

Для существования нетривиального решения необходимо зануление детерминанта этой матрицы. После некоторых преобразований получаем:

${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].\qquad (*)}$

Для дальнейшего упрощения мы выполним следующие преобразования, смысл которых заключается в переходе к дельта-образным потенциалам (дираковская гребёнка) :

${\displaystyle b\rightarrow 0\ ;\ V_{0}\rightarrow \infty \ ;\ V_{0}b=\mathrm {constant} }$

${\displaystyle \Rightarrow \beta b\rightarrow 0\ ;\ \beta ^{2}b=\mathrm {constant} \ ;\ \alpha ^{2}b\rightarrow 0\ ;\ \sin(\beta b)\rightarrow \beta b\ ;\ \cos(\beta b)\rightarrow 1}$

Тогда конечный ответ будет:

${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)-P{\sin(\alpha a) \over \alpha a}\qquad \left(P={\beta ^{2}ab \over 2}\right)}$

Программный код

Код для Maple

Следующий программный код написан на языке Maple (9.5). Представляет собой просто графическое решение ${\displaystyle (*)}$ .

  restart;
  with(plots):
  with(stats[statplots]):
  eq:=cos(k*a)=cos(beta*b)*cos(alpha*(a-b)) - (alpha^2+beta^2)/(2*alpha*beta)*sin(beta*b)*sin(alpha*(a-b));
  alpha:=sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2):
  beta:=sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2):
  e:=1.6*1e-19:
  a:=0.54310*1e-9:
  m:=0.19*9.1*1e-31:
  b:=1/5*a:
  h:=6.6*1e-34:
  k(E,V):=arccos(rhs(evalf(eq)))/a;

  #График
  p:=plot({subs(V=10,k(E,V)),subs(V=10,-k(E,V))},E=-5..50,labels=[ka, E],color=blue):
  xyexchange(p);

  #Анимация, зависимость от глубины ямы
  p:=animate( plot, [{k(E,V),-k(E,V)},E=-10..50, color=blue,labels=[ka, E]], V=0..30 ):
  xyexchange(p);

На рисунках представлены графические решения уравнения ( * ).

На правом рисунке видно, как при некотором значении потенциальной энергии возможно образование одномерного бесщелевого полупроводника.

Код для Scilab

Код ниже является фактически переводом предшествующей программы на язык Scilab, за тем исключением, что иллюстрирует также и случай перехода к гребёнке Дирака.

clear all

global Pi e a m b h

Pi = 3.1415926;

step = 0.1;

e = 1.6 * 1e-19;
a = 0.54310 * 1e-9;
m = 0.19*9.1 * 1e-31;
b = 1/5 * a;
h = 6.6 * 1e-34;

function [alpha, beta] = ab(V,E)
  alpha = sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2);
  beta  = sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2);
endfunction

function r=kronigpenney(V, E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos((cos(beta*b) .* cos(alpha*(a-b)) ) - (alpha.^2+beta.^2) ./ (2*alpha .* beta) .* sin(beta*b) .* sin(alpha*(a-b)));
endfunction

function r=dirac(V,E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos(cos(alpha * a) - (beta.^2 * b * a) ./ 2 .* sin(alpha*a) ./ (alpha * a));
endfunction

E = [1e-3 : step: 50];

k = kronigpenney(10, E);
plot(k, E, 'b'); plot(-k, E, 'b');

k = dirac(10, E);
plot(k, E, 'r'); plot(-k, E, 'r');

function KronigPenneyM

% clear all
% global Pi e a m b h
Pi = 3.1415926;
step = 0.1;

e = 1.6 * 1e-19;
a = 0.54310 * 1e-9;
m = 0.19*9.1 * 1e-31;
b = 1/5 * a;
h = 6.6 * 1e-34;

E = [0 : step: 50];
N = 3;

hold on; 
k = kronigpenney(N, E);
plot([real(k) NaN, -real(k)], [E NaN E], 'b');

k = dirac(N, E);
plot([real(k) NaN, -real(k)], [E NaN E], 'r');

function [alpha, beta] = ab(V,E)
  alpha = sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2);
  beta  = sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2);
end

function r=kronigpenney(V, E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos((cos(beta*b) .* cos(alpha*(a-b)) ) - (alpha.^2+beta.^2) / (2*alpha .* beta) .* sin(beta*b) .* sin(alpha*(a-b)));
end

function r=dirac(V,E)
  [alpha, beta] = ab(V,E);
  r = 1/a * acos(cos(alpha * a) - (beta.^2 * b * a) / 2 .* sin(alpha*a) / (alpha * a));
end
end

Ссылки

• Задачи по квантовой механике. Часть 1. Галицкий, Карнаков, Коган.
• 1-D periodic potential applet
• Energy band formation

См. также

• Квантовая яма
• Оптическая решетка
• Блоховская волна
• Теорема Блоха